Esercizi vari analisi I (appl. calcolo differenziale..)
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salve ragazzi 
(passato bene il ferragosto? 
) qui di seguito posto alcuni esercizi che non sono riuscito a risolvere in quanto per mancanza di tempo nn ho seguito i corsi tenuti dal prof e quindi nn so bene come svolgerli..se avete qualche dritta sparate pure! sicuramente centra lo studio della derivata per alcuni (ad esempio dove viene richiesto di dimostrare che per un dato intervallo vale un uguaglianza o una disuguaglianza..ma nn so bene come !!! 
) VI RINGRAZIO buon pomeriggio
(passato bene il ferragosto? ) qui di seguito posto alcuni esercizi che non sono riuscito a risolvere in quanto per mancanza di tempo nn ho seguito i corsi tenuti dal prof e quindi nn so bene come svolgerli..se avete qualche dritta sparate pure! sicuramente centra lo studio della derivata per alcuni (ad esempio dove viene richiesto di dimostrare che per un dato intervallo vale un uguaglianza o una disuguaglianza..ma nn so bene come !!! ) VI RINGRAZIO buon pomeriggio
Risposte
che cos'è settsenh???? 
senh è il seno iperbolico.. e il sett prima?????
senh è il seno iperbolico.. e il sett prima?????
"John_Nash":
che cos'è settsenh????
senh è il seno iperbolico.. e il sett prima?????
sarebbe il $senh^(-1)$ l'inversa del senh o arcsinh letteralmente ''settore seno iperbolico''
Il procedimento generale è questo:
- Per gli esercizi in cui devi mostrare che vale una certa uguaglianza del tipo $f(x)=c$ identicamente, dove c è una certa costante, puoi dimostrare che f'(x)=0 identicamente, quindi dedurre (se il dominio è connesso) che f è costante, quindi calcolarla su un valore "facile" dimostrando che si ottiene c.
Per esempio, dovendo mostrare che $f(x) := \arctan (x) + \arctan (1/x) = \pi/2$ per ogni $x > 0$ (dominio connesso), calcoli f'(x) e dimostri che vale 0:
$f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+1/x^2)(-1/x^2) = 1/(1+x^2)-1/(x^2(1+1/x^2)) = 1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0$
E poi per esempio dimostri che $f(1)=\pi/2$:
$f(1)=\arctan(1)+\arctan(1)=2\arctan(1)=2 \pi/4 = \pi/2$.
Come vedi il risultato non vale per ogni $x \ne 0$ (l'insieme degli x non nulli non è connesso!) infatti $f(-1)=-\pi/2$. Naturalmente però questo dice che $f(x)=-\pi/2$ per ogni $x < 0$.
- Per gli esercizi in cui devi dimostrare che una certa funzione continua f assume un solo zero reale in un certo intervallo [a,b] puoi per esempio mostrare che è strettamente monotona in [a,b] e qui assume valori di entrambi i segni (in tal caso hai finito), e perché sia strettamente monotona è sufficiente che sia derivabile con derivata mai nulla, oppure puoi cercare un intervallo in cui è monotona e assume valori di entrambi i segni (per applicare il teorema degli zeri), e dimostrare che fuori da quell'intervallo non è mai nulla. In alternativa, puoi trovare il punto in cui la funzione si annulla e dimostrare che a destra di quel punto essa cresce, a sinistra decresce, o che a destra decresce e a sinistra cresce, ecc. (chiaramente dovrai adattarti al caso particolare).
Per esempio per dimostrare che la funzione $f(x)=e^x-x-1$ si annulla solo in 0 puoi constatare che in 0 si annulla e poi dimostrare che è strettamente decrescente prima di zero, strettamente crescente dopo, calcolando la derivata prima $f'(x)=e^x-1$.
Questo è immediato perché $e^x \ge 1$ se e solo se $x \ge 0$.
- Per gli esercizi in cui devi mostrare che vale una certa uguaglianza del tipo $f(x)=c$ identicamente, dove c è una certa costante, puoi dimostrare che f'(x)=0 identicamente, quindi dedurre (se il dominio è connesso) che f è costante, quindi calcolarla su un valore "facile" dimostrando che si ottiene c.
Per esempio, dovendo mostrare che $f(x) := \arctan (x) + \arctan (1/x) = \pi/2$ per ogni $x > 0$ (dominio connesso), calcoli f'(x) e dimostri che vale 0:
$f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+1/x^2)(-1/x^2) = 1/(1+x^2)-1/(x^2(1+1/x^2)) = 1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0$
E poi per esempio dimostri che $f(1)=\pi/2$:
$f(1)=\arctan(1)+\arctan(1)=2\arctan(1)=2 \pi/4 = \pi/2$.
Come vedi il risultato non vale per ogni $x \ne 0$ (l'insieme degli x non nulli non è connesso!) infatti $f(-1)=-\pi/2$. Naturalmente però questo dice che $f(x)=-\pi/2$ per ogni $x < 0$.
- Per gli esercizi in cui devi dimostrare che una certa funzione continua f assume un solo zero reale in un certo intervallo [a,b] puoi per esempio mostrare che è strettamente monotona in [a,b] e qui assume valori di entrambi i segni (in tal caso hai finito), e perché sia strettamente monotona è sufficiente che sia derivabile con derivata mai nulla, oppure puoi cercare un intervallo in cui è monotona e assume valori di entrambi i segni (per applicare il teorema degli zeri), e dimostrare che fuori da quell'intervallo non è mai nulla. In alternativa, puoi trovare il punto in cui la funzione si annulla e dimostrare che a destra di quel punto essa cresce, a sinistra decresce, o che a destra decresce e a sinistra cresce, ecc. (chiaramente dovrai adattarti al caso particolare).
Per esempio per dimostrare che la funzione $f(x)=e^x-x-1$ si annulla solo in 0 puoi constatare che in 0 si annulla e poi dimostrare che è strettamente decrescente prima di zero, strettamente crescente dopo, calcolando la derivata prima $f'(x)=e^x-1$.
Questo è immediato perché $e^x \ge 1$ se e solo se $x \ge 0$.
Ti ringrazio Martino ! sei stato molto preciso grazie 1000 
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