Esercizi vari

[boanini]

Non mi riescano i seguenti esercizi..spero in una vostra mano...

1) Sia [tex]q\in R[/tex] Calcolare, se possibile, [tex]\sum_{n=0}^{\infty} q^{2n}[/tex]

2) Calcolare, se possibile, la somma della serie [tex]\sum_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{1}{n}}-e^{\frac{1}{n+1}})[/tex]

3) Calcolare giustificando la risposta [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{n^n2^{-n}}[/tex]

4) Trovare i primi due termini non nulli dello sviluppo di taylor centrato in 0 di [tex]sin(e^{2x})[/tex]

[boanini]

Per la (4) a me è venuto in mente questo:

[tex]2x=t[/tex]
[tex]e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3!}[/tex]
[tex]e^{2x}=t[/tex]
[tex]sint=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}[/tex]

ma non sono affatto sicuro che sia così...

[faximusy]

Devi fare le derivate, poi sostituisci lo $0$; io faccio così, mi trovo bene, anche se è lento

L'esercizio 1) penso tu possa considerare la serie geometrica

[Mathcrazy]

"boanini":
1) Sia [tex]q\in R[/tex] Calcolare, se possibile, [tex]\sum_{n=0}^{\infty} q^{2n}[/tex]

E', in effetti, una serie geometrica di ragione [tex]$q^2[/tex].

Essa converge a [tex]$\frac{1}{1-q^2}[/tex] se [tex]$|q^2|<1[/tex] cioè [tex]$-1
Diverge se [tex]$q^2>1[/tex]

E' indeterminata se [tex]$q^2 \le -1[/tex]



Volendo, lo possiamo anche dimostrare!!

Prendiamo la seguente serie geometrica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} t^n$[/tex]
Essa è una serie di ragione [tex]$t$[/tex] (nel tuo esercizio [tex]$t= q^2$[/tex] ).

Consideriamo la somma parziale n-esima (cioè la somma dei primi [tex]$n$[/tex] termini), chiamiamola [tex]$s_n$[/tex]:

[tex]$\forall n \in N: s_n = \sum_{k=0}^{n} t^k = 1+t+t^2+...+t^n$[/tex]

moltiplico primo e secondo membro per [tex]$t$[/tex]:

[tex]$t \cdot s_n = t+t^2+t^3...+t^{n+1}$[/tex]

Quindi, sottraiamo, membro a membro le due espressioni ottenute, cioè (prima le riscrivo):

[tex]$s_n = 1+t+t^2+...+t^n$[/tex]

[tex]$t \cdot s_n = t+t^2+t^3...+t^{n+1}$[/tex]
___________________________________

[tex]$(1-t)s_n= 1-t^{n+1}$[/tex]

Quindi con [tex]$1-t \not= 0$[/tex]; cioè [tex]$t \not=1$[/tex], trovo che:

[tex]$s_n = \frac{1-t^{n+1}}{1-t}$[/tex]

[Se [tex]$ t=1 \Rightarrow \sum_{0}^{+\infty} 1^n = +\infty$[/tex]]

Ora, per studiare il carattere della serie geometrica, devo studiare il limite della somma parziale: cioè:

[tex]$\lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1-t^{n+1}}{1-t}$[/tex]

Mi accorgo che il termine, da cui dipende tutto il limite è proprio [tex]$ t^{n+1}$[/tex]; me lo studio a parte:

[tex]$\lim_{n \to +\infty} t^{n+1} = \begin{cases}0 & |t|<1\\
\infty & t>1\\\not\exists & q \le -1 \end{cases}$[/tex]

Quindi ritornando al limite di partenza e sostituendo i valori ottenuti concludiamo che:

[tex]$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1-t^{n+1}}{1-t} = \begin{cases}\frac{1}{1-t} & |t|<1\\
\infty & t>1\\\not\exists & t \le -1 \end{cases}$[/tex]


Quindi la serie di partenza:
converge a [tex]$\frac{1}{1-t}[/tex] se [tex]|t|<1$[/tex]
diverge se [tex]$t>1$[/tex]
è indeterminata se [tex]$t \le -1$[/tex]..

Ecco le ragioni della mia risposta iniziale all'esercizio.

__________________________________________________

Il secondo esercizio, è facilmente risolvibile, poiché si tratta di una serie telescopica.
Ricavi la somma parziale n-esima e ne calcoli il limite.

[gugo82]

Per la 3) potrebbe tornare utile la formula di Stirling.

La 2) è una specie di serie telescopica; prova a calcolare le prime sei somme parziali e fatti un'idea di cosa succede in generale.

[pater46]

"Mathcrazy":

E', in effetti, una serie geometrica di ragione [tex]$q^2[/tex].

Essa converge a [tex]$\frac{1}{1-q^2}[/tex] se [tex]$|q^2|<1[/tex] cioè [tex]$-1
Diverge se [tex]$q^2>1[/tex]

E' indeterminata se [tex]$q^2 \le -1[/tex]

Aggiungo qualcosa... $q^2 >= 0 \forall q \in RR$

Per cui, non può esserci forma indeterminata.

$0 <= q <1 $ -> converge
$q >= 1$ -> diverge positivamente.

[boanini]

grazie a tutti per gli aiuti...l esame di analisi 1 e 2 si avvicina e io ho altri es che non mi riescano...

1) Sia [tex]f(x,y):=x^2+2xy+y, (x,y) \in R^2[/tex] Calcolare la matrice Jacobiana e il vettore gradiente di fin (1,1)

2) Sia [tex]f:R^2 \to R^2[/tex]data da [tex]f(x,y):=(x^2+2xy+y,y^2),(x,y)\inR^2[/tex] Scrivere l'applicazion lineare tangente a f in (1,1), scrivere poi il grafico dell applicazion lineare tagente in (1,1) siaqin forma parametrica che implicita

3)La curva [tex]A={(y,x)\inR^2|y=z^2,z\in[0,1]}[/tex]ruotando attorno all asse y descrive una superfice [tex]S \subset R^3[/tex]Calcolare l'integrale di superfice [tex]\int_{S}y^2 d\sigma[/tex]

4)Trovare l immagine [tex]f(A)[/tex]della funzione [tex]f:A\toR[/tex]dove[tex]f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}[/tex] e [tex]A={(x,y)\in R^2|2(x-1)^2+y^2\le1}[/tex]

[Mathcrazy]

Però prova almeno a scrivere un tuo tentativo di soluzione!

[boanini]

il 2 non so proprio da dove iniziare, il primo la matrice mi viene 2x 0 mentre il vettore gradiente non lo so...
2y 2x
0 1

e il 3 anche non so da dove iniziare...

[Mathcrazy]

Io scrivo qui, però ti consiglierei di aprire un altro topic; giacché sei passato a trattare temi differenti dalle richieste iniziali.. in ogni caso mi piegherò alle decisioni dei potenti!

Partiamo dal primo esercizio: chiediti cosa è una matrice Jacobiana:
Dovresti sapere che si tratta della matrice di tutte le derivate parziali prime.
Quindi. considerando una funzione di due variabili del tipo: [tex]$f: A \subseteq R^2 \to R$[/tex]; la matrice Jacobiana è:

[tex]$J = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix}$[/tex].

In realtà possiamo estendere questo concetto, anche a funzioni il più generico possibile:
[tex]$f: R^n \to R^p$[/tex]

In tal caso le derivate parziali possono essere organizzate in una matrice [tex]$p \times n$[/tex].

___

Il vettore gradiente è quel vettore che ha come componenti le derivate parziali [tex]$f_{xx}$[/tex] e [tex]$f_{yy}$[/tex]

Sapresti, a questo punto risolvere il primo esercizio?

[gugo82]

@boanini & Mathcrazy: Quella che state calcolando mi pare molto più una matrice hessiana, che non una jacobiana... C'è una grossa differenza tra le due, quindi boanini dovrebbe specificare meglio ciò che vuole sapere.

@boanini: Ti ricordo il regolamento, soprattutto i punti 1.2-1.4 e la sezione 3, e ti consiglio vivamente di leggere questo avviso.
Visto che sei nuovo, ho lasciato correre la prima volta; al secondo elenco di esercizi senza la minima indicazione di possibile soluzione mi è venuto un certo prurito ai polpastrelli, ma ho lasciato stare... Sappi che la terza volta non sarò tanto delicato.

[boanini]

non capisco cosa vuol dire [tex]f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}[/tex]

[Mathcrazy]

"boanini":non capisco cosa vuol dire [tex]f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}[/tex]

Niente, ho sbagliato, volevo indicare le derivate parziali prime, non le seconde.

[Mathcrazy]

"gugo82":@boanini & Mathcrazy: Quella che state calcolando mi pare molto più una matrice hessiana.

Anche questo è vero!
Volevo scrivere la Jacobiana, poi però ho confuso a scrivere"!

[boanini]

e quindi come verrebbe la matrice?

[gugo82]

@boanini: La conosci la definizione di matrice jacobiana? E quella della matrice hessiana? E sei in grado di capire che differenza c'è tra le due, di modo che puoi chiarire il mio dubbio?

Se no, ti consiglio di aprire un buon libro di Analisi II e leggere un po' di teoria, prima di tornare a postare.

[boanini]

la conosco la teoria...è solo che non so risolvere gli esercizi...cmq grazie lo stesso..