Esercizi vari
Per chi ne ha voglia, ecco alcuni esercizi.
1) Tra i numeri di sei cifre significative (ovvero la prima cifra non può essere 0) aventi tre cifre pari e tre cifre dispari, determinare quanti hanno le cifre in ordine strettamente crescente.
2) Stabilire il carattere della serie $sum_(n=1)^(+infty)(2-a_n)$,
sapendo che $a_1=sqrt(2)$ , $a_(n+1)=sqrt(2+a_n)$.
3) Il famoso agente segreto James Bond, catturato e condannato a morte, ha la possibilità di avere salva la vita se riesce ad estrarre a caso una pallina bianca da un insieme di $b$ palline bianche e $r$ rosse. Le $b+r$ palline saranno disposte in due urne nella proporzione che deciderà James stesso, il quale, al momento dell'estrazione dovrà prima scegliere a caso una delle due urne e poi da questa estrarre la pallina. Come deve sistemare le palline nelle due urne in modo che sia massima la sua probabilità di salvezza?
4) Il triangolo ABC è rettangolo in A e si sa che AB = AC = 4. Si calcoli l'area delle regione che contiene tutti i punti P tali che gli angoli APB , APC , BPC sono tutti ottusi.
1) Tra i numeri di sei cifre significative (ovvero la prima cifra non può essere 0) aventi tre cifre pari e tre cifre dispari, determinare quanti hanno le cifre in ordine strettamente crescente.
2) Stabilire il carattere della serie $sum_(n=1)^(+infty)(2-a_n)$,
sapendo che $a_1=sqrt(2)$ , $a_(n+1)=sqrt(2+a_n)$.
3) Il famoso agente segreto James Bond, catturato e condannato a morte, ha la possibilità di avere salva la vita se riesce ad estrarre a caso una pallina bianca da un insieme di $b$ palline bianche e $r$ rosse. Le $b+r$ palline saranno disposte in due urne nella proporzione che deciderà James stesso, il quale, al momento dell'estrazione dovrà prima scegliere a caso una delle due urne e poi da questa estrarre la pallina. Come deve sistemare le palline nelle due urne in modo che sia massima la sua probabilità di salvezza?
4) Il triangolo ABC è rettangolo in A e si sa che AB = AC = 4. Si calcoli l'area delle regione che contiene tutti i punti P tali che gli angoli APB , APC , BPC sono tutti ottusi.
Risposte
Per il 4° esercizio avrei trovato ( il condizionale e'
d'obbligo) che la regione richiesta sia l'intersezione
tra i due cerchi aventi i due cateti per diametro
( una specie di fuso piano,se cosi' si puo' dire).
L'area sarebbe $2(pi-2)$
karl
d'obbligo) che la regione richiesta sia l'intersezione
tra i due cerchi aventi i due cateti per diametro
( una specie di fuso piano,se cosi' si puo' dire).
L'area sarebbe $2(pi-2)$
karl
Anch'io ho fatto cosi'!!
"Piera":
2) Stabilire il carattere della serie $sum_(n=0)^(+infty)(2-a_n)$,
sapendo che $a_0=sqrt(2)$ , $a_(n+1)=sqrt(2+a_n)$.
La serie converge, è sufficiente dimostrare che $a_n>2-1/(2^n)$.
Per induzione, sia vero per $a_n$ dimostriamo che è vero per $a_(n+1)$
$a_(n+1)=sqrt(2+a_n)>sqrt(4-1/(2^n))$
e $sqrt(4-1/(2^n))>2-1/(2^(n+1))$, infatti svolgendo
$4-1/(2^n)>4-4/(2^(n+1))+1/(2^(2n+2))$
$4/(2^(n+1))-1/(2^(2n+2))-1/(2^n)>0$
$1-1/(2^(n+2))>0$
che è banalmente vero.
Però, mica male la tua soluzione!
Riporto anche la mia.
Si può dimostrare che $lim_(n->+infty)a_n=2$,
applicando il criterio del rapporto si ha
$lim_(n->+infty)(2-a_(n+1))/(2-a_(n))=lim_(n->+infty)((2-sqrt(2+a_n))/(2-a_(n)))=lim_(n->+infty)1/(2+sqrt(2+a_(n)))=1/4<1.
Riporto anche la mia.
Si può dimostrare che $lim_(n->+infty)a_n=2$,
applicando il criterio del rapporto si ha
$lim_(n->+infty)(2-a_(n+1))/(2-a_(n))=lim_(n->+infty)((2-sqrt(2+a_n))/(2-a_(n)))=lim_(n->+infty)1/(2+sqrt(2+a_(n)))=1/4<1.
"Piera":
Si può dimostrare che $lim_(n->+infty)a_n=2$,
Anche io avevo iniziato procedendo così...
Infatti si ha $lim_(n rightarrow infty) a_n =sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...)))=r$ un cosiddetto nested radical
Abbiamo $r=sqrt(2+r)$ quindi $r^2-r-2=0$ e per la positività $r=2$.
A proposito di nested radical ricordo questo esercizio molto bello:
Per $x>0$ reale calcolare $x(x(x(x...)^(1/4))^(1/3))^(1/2)$
Mi avete fregato!! Avevo una soluzione praticamente identica a quella
di carlo23 e mi ero alzato alle 7.00 per postarla..Non c'e' piu' rispetto
per i vecchi quarantenni .
Bella anche la soluzione di Piera come quelle che piacciono a me:
"mordi e fuggi" ( direbbe Bruno).
Volevo solo fare una considerazione su quanto detto da carlo23
nel porre $lim_(n->oo)a_n=r$ Evidentemente una tale scrittura
richiede che si verichi prima l'esistenza del limite ,altrimenti
tutto resta una pura esercitazione euristica ( anche se poi una tale verifica
sembra esservi ,sia pure in maniera non esplicita, tra cio' che carlo scrive.).
La esplicito io ed in primis osservo che la successione
${a_n}$ e' a termini positivi e strettamente crescente.
Pertanto risulta $a_{n+1}>a_n$ ovvero $sqrt(2+a_n)>a_n$
Da cui :
$a_n^2-a_n-2<0$ che e' verificata per $0
In conclusione la successione e' anche limitata e quindi convergente.
karl
Edit
Di sicuro e' colpa mia ma non capisco la scrittura dell'esercizio proposto
da carlo23.
di carlo23 e mi ero alzato alle 7.00 per postarla..Non c'e' piu' rispetto
per i vecchi quarantenni
.Bella anche la soluzione di Piera come quelle che piacciono a me:
"mordi e fuggi" ( direbbe Bruno).
Volevo solo fare una considerazione su quanto detto da carlo23
nel porre $lim_(n->oo)a_n=r$ Evidentemente una tale scrittura
richiede che si verichi prima l'esistenza del limite ,altrimenti
tutto resta una pura esercitazione euristica ( anche se poi una tale verifica
sembra esservi ,sia pure in maniera non esplicita, tra cio' che carlo scrive.).
La esplicito io ed in primis osservo che la successione
${a_n}$ e' a termini positivi e strettamente crescente.
Pertanto risulta $a_{n+1}>a_n$ ovvero $sqrt(2+a_n)>a_n$
Da cui :
$a_n^2-a_n-2<0$ che e' verificata per $0
In conclusione la successione e' anche limitata e quindi convergente.
karl
Edit
Di sicuro e' colpa mia ma non capisco la scrittura dell'esercizio proposto
da carlo23.
"carlo23":
A proposito di nested radical ricordo questo esercizio molto bello:
Per $x>0$ reale calcolare $x(x(x(x...)^(1/4))^(1/3))^(1/2)$
Possiamo scrivere:
$x(x(x(x...)^(1/4))^(1/3))^(1/2)=x^1*x^(1/2)*x^(1/2*1/3)*x^(1/2*1/3*1/4)*x^(...)$
Per le proprietà delle potenze si ha:
$x^(1+1/2+1/2*1/3+1/2*1/3*1/4+...)=x^(1+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+...)=x^(e-1)$$
"MaMo":
Possiamo scrivere: ...
Bravo, è esattamente così
"Piera":
3) Il famoso agente segreto James Bond, catturato e condannato a morte, ha la possibilità di avere salva la vita se riesce ad estrarre a caso una pallina bianca da un insieme di $b$ palline bianche e $r$ rosse. Le $b+r$ palline saranno disposte in due urne nella proporzione che deciderà James stesso, il quale, al momento dell'estrazione dovrà prima scegliere a caso una delle due urne e poi da questa estrarre la pallina. Come deve sistemare le palline nelle due urne in modo che sia massima la sua probabilità di salvezza?
Le probabilità sono indipendenti da come vengono disposte nelle urne le palline,in ogni caso Bond ha $b/(b+r)$ probabilità di salvarsi.
"carlo23":
....
Le probabilità sono indipendenti da come vengono disposte nelle urne le palline,in ogni caso Bond ha $b/(b+r)$ probabilità di salvarsi.
Io penso che non sia così. Considerando il semplice caso b = r, la probabilità di salvarsi sarebbe sempre 1/2.
Ma se disponiamo una pallina bianca nella prima urna e le altre nella seconda la probabilità di salvezza è:
$P=1/2+1/2((b-1)/(b+r-1))>1/2$
Quindi, per avere la massima probabilità di salvezza, Bond deve mettere una pallina bianca nella prima urna e le altre nella seconda urna.
La risposta corretta è quella di MaMo.
Vediamo la dimostrazione che riporta il mio libro.
Sia $P(c,d)$ la probabilità di estrarre una pallina bianca quando James Bond mette $c$ palline bianche e $d$ rosse nella prima urna. Pertanto
$P(c,d)=1/2(c/(c+d)+(b-c)/(b+r-c-d))$.
Nel caso in cui è $c
L'espressione tra parentesi è minima quando risulta $d=r$, allora vale
$((b-c)(b-2c))/((r+c)(b+r-c))>=0$.
Si deduce pertanto che $P(c,0)<=P(1,0)$
e quindi la probabilità è massima quando James Bond colloca una sola pallina bianca in un'urna e le rimanenti nell'altra.
Vediamo la dimostrazione che riporta il mio libro.
Sia $P(c,d)$ la probabilità di estrarre una pallina bianca quando James Bond mette $c$ palline bianche e $d$ rosse nella prima urna. Pertanto
$P(c,d)=1/2(c/(c+d)+(b-c)/(b+r-c-d))$.
Nel caso in cui è $c
L'espressione tra parentesi è minima quando risulta $d=r$, allora vale
$((b-c)(b-2c))/((r+c)(b+r-c))>=0$.
Si deduce pertanto che $P(c,0)<=P(1,0)$
e quindi la probabilità è massima quando James Bond colloca una sola pallina bianca in un'urna e le rimanenti nell'altra.
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