Esercizi Teoria della misura
Sto iniziando a fare qualche esercizio di teoria della misura, ed è la prima volta che mi cimento, quindci abbiate pietà nel caso 
.
Sia $\mathcal{A}={E subseteq RR}$ con $E$ finito o $E^c$ finito, dimostrare che l'insieme è un'algebra.
Svolgimento:
Devo mostrare le 3 condizioni, quindi:
1) $\emptyset in \mathcal{A}$ direi di si in quanto $\emptyset in RR$
2)$E in \mathcal{A} => E^c in \mathcal{A}$.
Ho ragionato così: dato che E è un sottoinsieme di $RR$ finito, allora lo posso vedere del tipo ${a,b}$ allora
$E^c=RR-{a,b}$ che è ancora un sottoinsieme di $RR$ quindi $E^c in RR$.
3)$\mathcal{A}$ stabile per unione. Dovrebbe essere vero.
Che ne dite!?
. Sia $\mathcal{A}={E subseteq RR}$ con $E$ finito o $E^c$ finito, dimostrare che l'insieme è un'algebra.
Svolgimento:
Devo mostrare le 3 condizioni, quindi:
1) $\emptyset in \mathcal{A}$ direi di si in quanto $\emptyset in RR$
2)$E in \mathcal{A} => E^c in \mathcal{A}$.
Ho ragionato così: dato che E è un sottoinsieme di $RR$ finito, allora lo posso vedere del tipo ${a,b}$ allora
$E^c=RR-{a,b}$ che è ancora un sottoinsieme di $RR$ quindi $E^c in RR$.
3)$\mathcal{A}$ stabile per unione. Dovrebbe essere vero.
Che ne dite!?
Risposte
Ciao 
Non sono assolutamente esperto, ma vedi un po' se le mie osservazioni ti possono essere utili.
Immagino volessi dire $\emptyset subseteq RR$.
Sia $E \in \mathcal{A}$.
Se $E$ finito, allora $E^c \in mathcal{A}$, perchè $(E^c)^c=E$ è finito.
Se invece $E^c$ è finito, allora $E^c$ sta banalmente in $\mathcal{A}$ perchè lui stesso è finito.
Siano $E_1$ ed $E_2$ elementi di $mathcal{A}$. Se entrambi sono finiti, allora lo è anche la loro unione. Allo stesso modo (De Morgan) se $E_1^c$ ed $E_2^c$ sono finiti, allora $(E_1 uu E_2)^c = E_1^c nn E_2^c$ è finito e dunque $E_1 uu E_2$ sta in $\mathcal{A}$.
Resta il caso in cui, ad esempio, $E_1$ è finito e $E_2^c$ è finito: in tal caso, se non ho sbagliato i conti, basta scrivere $E_2=RR setminus A$, per un certo $A subset RR$ finito. Allora, $E_1 nn E_2 = E_1 nn RR setminus A =E_1 setminus A$ che è finito in quanto differenza di insiemi finiti.
Non sono assolutamente esperto, ma vedi un po' se le mie osservazioni ti possono essere utili.
"Lorin":
Sia $\mathcal{A}={E subseteq RR}$ con $E$ finito o $E^c$ finito, dimostrare che l'insieme è un'algebra.
Svolgimento:
Devo mostrare le 3 condizioni, quindi:
1) $\emptyset in \mathcal{A}$ direi di si in quanto $\emptyset in RR$
Immagino volessi dire $\emptyset subseteq RR$.
"Lorin":
2)$E in \mathcal{A} => E^c in \mathcal{A}$.
Ho ragionato così: dato che E è un sottoinsieme di $RR$ finito, allora lo posso vedere del tipo ${a,b}$ allora
$E^c=RR-{a,b}$ che è ancora un sottoinsieme di $RR$ quindi $E^c in RR$.
Sia $E \in \mathcal{A}$.
Se $E$ finito, allora $E^c \in mathcal{A}$, perchè $(E^c)^c=E$ è finito.
Se invece $E^c$ è finito, allora $E^c$ sta banalmente in $\mathcal{A}$ perchè lui stesso è finito.
"Lorin":
3)$\mathcal{A}$ stabile per unione. Dovrebbe essere vero.
Siano $E_1$ ed $E_2$ elementi di $mathcal{A}$. Se entrambi sono finiti, allora lo è anche la loro unione. Allo stesso modo (De Morgan) se $E_1^c$ ed $E_2^c$ sono finiti, allora $(E_1 uu E_2)^c = E_1^c nn E_2^c$ è finito e dunque $E_1 uu E_2$ sta in $\mathcal{A}$.
Resta il caso in cui, ad esempio, $E_1$ è finito e $E_2^c$ è finito: in tal caso, se non ho sbagliato i conti, basta scrivere $E_2=RR setminus A$, per un certo $A subset RR$ finito. Allora, $E_1 nn E_2 = E_1 nn RR setminus A =E_1 setminus A$ che è finito in quanto differenza di insiemi finiti.
Per il primo punto è perche il vuoto è finito non perchè è un sottoinsieme di $RR$ (l'algebra non continiene tutti sottoinsiemi)
Per il 2 ) Come dice Paolo ed è proprio insito nella definizione dell'algebra.
Per il 3) caso $E_1$ finito, $E_2^c$ finito.
$(E_1 uu E_2)^c = E_1^c nn E_2^c subset E_2^c$ e quindi è finito; essendo il complemento finito, $(E_1 uu E_2)$ è nell'algebra, che ricalca poi la relazione tra la proprietà 2 el a definizione di algebra stessa.
Se conosci la definizione di sigma algebra, Dimostra che non lo è.
Per il 2 ) Come dice Paolo ed è proprio insito nella definizione dell'algebra.
Per il 3) caso $E_1$ finito, $E_2^c$ finito.
$(E_1 uu E_2)^c = E_1^c nn E_2^c subset E_2^c$ e quindi è finito; essendo il complemento finito, $(E_1 uu E_2)$ è nell'algebra, che ricalca poi la relazione tra la proprietà 2 el a definizione di algebra stessa.
Se conosci la definizione di sigma algebra, Dimostra che non lo è.
Ringrazio entrambi per l'intervento e per i preziosi consigli che mi avete dato. Studiando un pò di teoria ho capito che quando devo dimostrare determinate cose in questo tipo di esercizi devo utilizzare strumenti di base della teoria degli insiemi. Grazie ancora!
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