Esercizi teorema di Dini
Salve ragazzi. Non so proprio come fare questo esercizio
mi potete mostrare come si fa?
mi potete mostrare come si fa?
Risposte
Ciao!
Cosa sai del teorema di Dini? Osserva magari rispetto a quale variabile puoi esplicitare e poi possiamo cercare lo sviluppo di Taylor di $y(x)$ che ti può aiutare nel calcolo del limite.
Cosa sai del teorema di Dini? Osserva magari rispetto a quale variabile puoi esplicitare e poi possiamo cercare lo sviluppo di Taylor di $y(x)$ che ti può aiutare nel calcolo del limite.
Allora innanzitutto grazie per la risposta.
Il teorema del Dini mi permette di trovare la derivata della funzione implicita ad una sola variabile sotto determinate condizioni meglio che lo enunci per $ R^2 $ :
Sia $ f:Drarr R $ dove $ D $ è un aperto di $ R^2 $ ed $ fin C'(R^2) $ . Se in un punto $ x $ si ha che:
1) $ f(x;y)=0 $
2) la derivata parziale rispetto alla seconda variabile nel punto è diversa da 0.
Esiste un intorno $ I $ di $ x $ e una funzione $ g:Irarr R $ tale che:
$ g(x)=y $ e $ f(x;g(x))=0 $ . Questa funzione è $ C' $ e vale la formula (che non scrivo).
Ieri sera ci ho pensato meglio mentre vedevo la finale ahaha.
La funzione è definita su tutto $ R^2 $ che è un aperto dove la funzione è $ C'' $ (in realtà è molto più regolare ma mi basta quello per un eventuale sviluppo di Taylor). Il mio problema era la totale assenza del punto. Avevo pensato di considerare il punto che mi soddisfa entrambe le condizioni 1 e 2. Effettivamente è $ (0,0) $ ( la funzione si azzera, la derivata rispetto alla variabile $ y $ è $ delta _y=2yx^2+3y^2+1 $ e nel punto fa proprio $ 1 $ diverso da 0) quindi sono soddisfatte le ipotesi di Dini, mi calcolo la derivata in 0, poi la derivata seconda (il prof ci ha fornito un bel formulone) poi devo solo sostituire nel limite lo sviluppo in 0, che coincide proprio con il punto che mi soddisfa le ipotesi. E' giusto?
Il teorema del Dini mi permette di trovare la derivata della funzione implicita ad una sola variabile sotto determinate condizioni meglio che lo enunci per $ R^2 $ :
Sia $ f:Drarr R $ dove $ D $ è un aperto di $ R^2 $ ed $ fin C'(R^2) $ . Se in un punto $ x $ si ha che:
1) $ f(x;y)=0 $
2) la derivata parziale rispetto alla seconda variabile nel punto è diversa da 0.
Esiste un intorno $ I $ di $ x $ e una funzione $ g:Irarr R $ tale che:
$ g(x)=y $ e $ f(x;g(x))=0 $ . Questa funzione è $ C' $ e vale la formula (che non scrivo).
Ieri sera ci ho pensato meglio mentre vedevo la finale ahaha.
La funzione è definita su tutto $ R^2 $ che è un aperto dove la funzione è $ C'' $ (in realtà è molto più regolare ma mi basta quello per un eventuale sviluppo di Taylor). Il mio problema era la totale assenza del punto. Avevo pensato di considerare il punto che mi soddisfa entrambe le condizioni 1 e 2. Effettivamente è $ (0,0) $ ( la funzione si azzera, la derivata rispetto alla variabile $ y $ è $ delta _y=2yx^2+3y^2+1 $ e nel punto fa proprio $ 1 $ diverso da 0) quindi sono soddisfatte le ipotesi di Dini, mi calcolo la derivata in 0, poi la derivata seconda (il prof ci ha fornito un bel formulone) poi devo solo sostituire nel limite lo sviluppo in 0, che coincide proprio con il punto che mi soddisfa le ipotesi. E' giusto?
Si esatto...$(0,0)$ soddisfa il vincolo riportato e puoi esplicitare rispetto alla variabile y per il conto che hai riportato. Poi puoi calcolare la derivata prima e la derivata seconda e il gioco è fatto. Altri problemi?
Ti suggerisco però un metodo un po' più furbo rispetto a quello di calcolare tutte le derivate che occorrono con le formulone. Basta scrivere in forma incognita lo sviluppo di Taylor di $y(x)=ax+bx^2+...$(fino a quando ti serve in base alla regolarità di $y(x)$) e poi andare a sostituire nell'equazione e ricavare alla fine i coefficienti incogniti $a,b,...$
No nessun altro dubbio, grazie mille per avermi aiutato! E grazie mille per il metodo, sembra simpaticissimo! 
"nick_10":
Ti suggerisco però un metodo un po' più furbo rispetto a quello di calcolare tutte le derivate che occorrono con le formulone. Basta scrivere in forma incognita lo sviluppo di Taylor di $y(x)=ax+bx^2+...$(fino a quando ti serve in base alla regolarità di $y(x)$) e poi andare a sostituire nell'equazione e ricavare alla fine i coefficienti incogniti $a,b,...$
Buona idea. In realtà il formulone è inutile, non bisogna fare sforzi di memoria per ricordarlo. Io farei così: siccome so che esiste una sola funzione \(y(x)\) che risolve l'equazione per \(x\) sufficientemente piccoli, posso scrivere
\[
x^2y^2(x)+y^3(x)+x+y(x)=0,
\]
per cui
\[
2x^2y(x)y'(x) +3y^2(x)y'(x)+1+y'(x)=0.\]
Se \(x=0\) allora \(y(0)=0\) e quindi
\[
y'(0)=-1.\]
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