Esercizi sullo spettro di operatori e operatori compatti...
Ho bisogno ancora di una vostra mano, dopo questa la smetto (spero 
)!!
Primo esercizio:
Sullo spazio $L^2( 0, 2 \pi )$ (spazio funzioni complesse di periodo $2 \pi$, misurabili, a quadrato integrabili sul periodo , con usuale norma), definiamo l'operatore $T:\tilde{f} \rightarrow f $:
\[ \tilde{f}(k)=\int_{-\infty}^x f(t)e^{-(x-t)}\ d x. \]
Dimostrare che l'operatore è compatto e determinare lo spettro.
Ho provato così: sia $f_n$ una successione tale che $ \| f_n \| \leq M$, provo che $T f_n$ è relativamente compatto. Uso il teorema di Riesz Kolmogoroff e dimostro le condizioni equivalenti... Evito di scrivere i calcoli che sono lunghi, comunque fin qui dovrei esserci.
Per determinare lo spettro, mostro che se $f$ è un'autofunzione allora è continua e derivabile q.o. E fin qui ci dovrei essere, evito di scrivere i conti che sono lunghetti... Poichè l'operatore è compatto, risolvo l'equazione degli autovalori $T f=\lambda f$. Derivandola, ottengo che: \[ f'(x)=f(x)\left( \frac{1-\lambda}{\lambda}\right), \]
dunque \[ f(x)=c e^{ \left( \frac{1-\lambda}{\lambda}\right) x }. \]
Per calcolare c, impongo che \[ c=f(0)= \frac{c}{\lambda}\int_{-\infty}^0 e^t e^{ \left( \frac{1-\lambda}{\lambda}\right)t } dt,
\]
e ottengo la condizione $c=\lambda c$, dunque $\lambda =1$. Ottengo un unico autovalore pari a $1$. L'autofunzione è la funzione pari a $c$, che è a quadrato integrabile in $(0, 2 \pi)$. é possibile
? Secondo voi ho sbagliato qualcosa (volete tutti i calcoli?)?
Secondo problema
Su $L^2(\mathbb{R})$ si considera l'operatore :
\[
\tilde{f}(x)=\sum_k \frac{1}{2^k}f(x+k).
\]
Ho verificato che l'operatore è ben definito e che è limitato. Questo operatore non dovrebbe essere compatto. Ma come lo dimostro?? Non mi viene in mente una successione che contraddice il fatto che l'operatore non è compatto... Inoltre, per determinare lo spettro, come procedo? Non sapendo che l'operatore è compatto non basta in generale risolvere l'equazione degli autovalori... Però si verifica facilmente che la successione $f_n= e^{i n x}$ è una successione di autofunzioni relative agli autovalori $\lambda_n=\sum e^{i k n} \frac{1}{2^k}$. Siccome $e^{i k x}$ è una base per lo spazio di Hilbert $L^2$, questo basta per mostrare che lo spettro è formato solo dai valori $\lambda_n$ (quindi non c'è spettro continuo etc...)
?
Ringrazio chiunque mi dia una mano per chiarirmi le idee.
)!!Primo esercizio:
Sullo spazio $L^2( 0, 2 \pi )$ (spazio funzioni complesse di periodo $2 \pi$, misurabili, a quadrato integrabili sul periodo , con usuale norma), definiamo l'operatore $T:\tilde{f} \rightarrow f $:
\[ \tilde{f}(k)=\int_{-\infty}^x f(t)e^{-(x-t)}\ d x. \]
Dimostrare che l'operatore è compatto e determinare lo spettro.
Ho provato così: sia $f_n$ una successione tale che $ \| f_n \| \leq M$, provo che $T f_n$ è relativamente compatto. Uso il teorema di Riesz Kolmogoroff e dimostro le condizioni equivalenti... Evito di scrivere i calcoli che sono lunghi, comunque fin qui dovrei esserci.
Per determinare lo spettro, mostro che se $f$ è un'autofunzione allora è continua e derivabile q.o. E fin qui ci dovrei essere, evito di scrivere i conti che sono lunghetti... Poichè l'operatore è compatto, risolvo l'equazione degli autovalori $T f=\lambda f$. Derivandola, ottengo che: \[ f'(x)=f(x)\left( \frac{1-\lambda}{\lambda}\right), \]
dunque \[ f(x)=c e^{ \left( \frac{1-\lambda}{\lambda}\right) x }. \]
Per calcolare c, impongo che \[ c=f(0)= \frac{c}{\lambda}\int_{-\infty}^0 e^t e^{ \left( \frac{1-\lambda}{\lambda}\right)t } dt,
\]
e ottengo la condizione $c=\lambda c$, dunque $\lambda =1$. Ottengo un unico autovalore pari a $1$. L'autofunzione è la funzione pari a $c$, che è a quadrato integrabile in $(0, 2 \pi)$. é possibile
? Secondo voi ho sbagliato qualcosa (volete tutti i calcoli?)?Secondo problema
Su $L^2(\mathbb{R})$ si considera l'operatore :
\[
\tilde{f}(x)=\sum_k \frac{1}{2^k}f(x+k).
\]
Ho verificato che l'operatore è ben definito e che è limitato. Questo operatore non dovrebbe essere compatto. Ma come lo dimostro?? Non mi viene in mente una successione che contraddice il fatto che l'operatore non è compatto... Inoltre, per determinare lo spettro, come procedo? Non sapendo che l'operatore è compatto non basta in generale risolvere l'equazione degli autovalori... Però si verifica facilmente che la successione $f_n= e^{i n x}$ è una successione di autofunzioni relative agli autovalori $\lambda_n=\sum e^{i k n} \frac{1}{2^k}$. Siccome $e^{i k x}$ è una base per lo spazio di Hilbert $L^2$, questo basta per mostrare che lo spettro è formato solo dai valori $\lambda_n$ (quindi non c'è spettro continuo etc...)
?
Ringrazio chiunque mi dia una mano per chiarirmi le idee.
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