Esercizi sulle serie

[noipo]

Ciao, sto facendo un sacco di esercizi sulle serie ma alcuni di essi non mi vengono:

1) $\sum_{k=2}^(\+infty) (k+sqrt(k))/(k^2-k)$
Serie a t. positivi. Usando il criterio del rapporto ho ottenuto 1, quindi non va bene..


2) $\sum_{k=1}^(\+infty) (sqrt(k+1)-sqrt(k))/k$
Serie a t. positivi. Non so proprio quale criterio usare..


3) $\sum_{k=1}^(\+infty) (k!)/k^k$
Serie a t. positivi. Con il criterio del rapporto ho ottenuto 1 e gli altri criteri non so come applicarli..


4) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^40/(k!)$
Serie a t. positivi. Che criterio uso? Non posso raccogliere..


5) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^k/((2k)!)$
Serie a t. positivi. Cosa uso?


6) $\sum_{k=1}^(\+infty) (5/(k+1))^(k(k-1))$
Serie a t. positivi. Con il criterio della radice ottengo 1..


7) $\sum_{k=1}^(\+infty) 1/2^(lnk)$
Serie a t. positivi. Ad occhio direi che va usato il criterio della radice ma $1^(lnk) != 1$..


8) $\sum_{k=1}^(\+infty) (2+(-1)^k)/k^2$
Serie a t. positivi. Mi sono persa nei calcoli provando il criterio del rapporto..


9) $\sum_{k=1}^(\+infty) lnk/k$
Serie a t. positivi. Ho usato il criterio del rapporto e mi viene $0$ perciò converge ma nelle soluzioni c'è scritto che diverge..


10) $\sum_{k=1}^(\+infty) k/(root(3)(k+1))^k$
Serie a t. positivi. Si può portare fuori dal segno della sommatoria la $k$ in questo modo $k*\sum_{k=1}^(\+infty) 1/(root(3)(k+1))^k$? Devo cambiare l'indice di partenza della sommatoria? In ogni caso come la risolvo?


11) $\sum_{k=1}^(\+infty) ((2k),(k))*2^(-k)$
Serie a t. positivi. Ho usato il metodo del rapporto e ho ottenuto che la serie converge ma le soluzioni dicono che diverge..


12) $\sum_{k=2}^(\+infty) ((2k),(k))*5^(-k)$
Serie a t. positivi.


Come si può notare facilmente il fattoriale ed il $k^k$ mi incasinano e uso principalmente i criteri del rapporto e della radice perchè gli altri li trovo complicati (o forse è perchè non li so applicare). Domanda: cosa cambia se la sommatoria parte da $k = 1$ o $k=2$ ecc?
Se potete farmi vedere i passaggi di almeno un esercizio di questi, forse riuscirò a capire come fare gli altri..
Grazie

[Sk_Anonymous]

Solo qualche osservazione:

"vfldj":[...]
3) $\sum_{k=1}^(\+infty) (k!)/k^k$
Serie a t. positivi. Con il criterio del rapporto ho ottenuto 1 e gli altri criteri non so come applicarli..

Sbagliato. Si ha \[\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} \cdot \frac{k^{k}}{k!}=\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)}{(k+1)^{k} (k+1)} \cdot {k^{k}}=\lim_{k \to \infty} \left( \frac{k}{k+1} \right)^{k} = \frac{1}{e} < 1 \]

"vfldj":[...]
2) $\sum_{k=1}^(\+infty) (sqrt(k+1)-sqrt(k))/k$
Serie a t. positivi. Non so proprio quale criterio usare..
[...]

\[\displaystyle \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k}=\frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k} \cdot \frac{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\frac{1}{k(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})} \] e quindi concludi per il criterio del confronto asintotico.

"vfldj":[...]
4) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^40/(k!)$
Serie a t. positivi. Che criterio uso? Non posso raccogliere..


5) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^k/((2k)!)$
Serie a t. positivi. Cosa uso?
[...]

Prova con il criterio del rapporto...

[Noisemaker]

"vfldj":Ciao, sto facendo un sacco di esercizi sulle serie ma alcuni di essi non mi vengono:

1) $\sum_{k=2}^(\+infty) (k+sqrt(k))/(k^2-k)$

$ (k+sqrt(k))/(k^2-k)\sim k /k^2 =1/k\to \text{diverge per confronto}$

"vfldj":
2) $\sum_{k=1}^(\+infty) (sqrt(k+1)-sqrt(k))/k$
Serie a t. positivi. Non so proprio quale criterio usare..

come da suggerimento,

$ (sqrt(k+1)-sqrt(k))/k=\frac{1}{k(\sqrt{k+1}+\sqrt k)}\sim \frac{1}{k(2\sqrt k )}= \frac{1}{k^{3/2}}\to \text{converge}$

"vfldj":


4) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^40/(k!)$
Serie a t. positivi. Che criterio uso? Non posso raccogliere..

$ k^40/(k!)<\frac{1}{k!}\to\text{converge per confronto}$

si poteva usare anche il criterio del rapporto:

$ \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{40}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{k^{40}}=\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{40}}{k^{40}}\cdot\frac{k!}{k!(k+1)}=\lim_{k \to \infty} 1\cdot\frac{1}{k+1}=0

"vfldj":
5) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^k/((2k)!)$
Serie a t. positivi. Cosa uso?

il criterio del rapporto:

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty}\frac{(k+1)^{k+1}}{(2k+2)!}\cdot\frac{(2k)!}{k^k}&=\lim_{k \to \infty}\frac{(k+1)^k }{k^k}\cdot(k+1)\cdot\frac{(2k)!}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}\\
&=\lim_{k \to \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot\frac{k+1}{(2k+1)(2k+2)}=e\cdot0=0\to\text{converge}
\end{align*}

"vfldj":
6) $\sum_{k=1}^(\+infty) (5/(k+1))^(k(k-1))$
Serie a t. positivi. Con il criterio della radice ottengo 1..

il criterio del rapporto:

$\sum_{k=1}^(\+infty) (5/(k+1))^(k(k-1))= \sum_{k=1}^(\+infty) (5 )^(k(k-1))\cdot(1/(k+1))^(k(k-1)) $

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty}\frac{5^{k^2+k}}{5^{k^2-k}}\cdot\frac{(k+1)^{k^2-k}}{(k+2)^{k^2+k}} &=\lim_{k \to \infty}\frac{5^{k^2 }\cdot5^k}{5^{k^2 }\cdot5^{-k}}\cdot\frac{(k+1)^{k^2 }\cdot(k+1)^{ -k}}{(k+2)^{k^2 }\cdot(k+2)^{ k}}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{5^{2k}}\cdot \left(\frac{ k+1 }{ k+2 }\right)^{k^2}\cdot\frac{1}{(n+2)^{2n}}\\
&=0\cdot0\cdot 0 =0\to\text{converge}
\end{align*}

"vfldj":
7) $\sum_{k=1}^(\+infty) 1/2^(lnk)$
Serie a t. positivi. Ad occhio direi che va usato il criterio della radice ma $1^(lnk) != 1$..

criterio di condensazione di Cauchy:

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{\ln k}}\to \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{2^{\ln 2^n}} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{2^{n\ln 2 }} =\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{2}{2^{ \ln 2 }}\right)^n \to\text{diverge, serie geometrica }
\end{align*}
essendo

$\frac{2}{2^{ \ln 2 }}\sim1,2>1$

"vfldj":
8) $\sum_{k=1}^(\+infty) (2+(-1)^k)/k^2$
Serie a t. positivi. Mi sono persa nei calcoli provando il criterio del rapporto..

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2+(-1)^k}{k^2} =\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2 }{k^2} + \frac{ (-1)^k}{k^2} =\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2 }{k^2} +\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{ (-1)^k}{k^2} \to \text{converge}
\end{align*}
in quanto somma di sue serie convergenti, la prima serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno, la seconda convergente per Leibniz

"vfldj":
9) $\sum_{k=1}^(\+infty) lnk/k$
Serie a t. positivi. Ho usato il criterio del rapporto e mi viene $0$ perciò converge ma nelle soluzioni c'è scritto che diverge..

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\ln k}{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k\cdot\ln^{-1} k}\to \text{diverge}
\end{align*}
oppure
\begin{align*}
\frac{\ln k}{k}> \frac{1}{k }\to \text{diverge}
\end{align*}

"vfldj":
10) $\sum_{k=1}^(\+infty) k/(root(3)(k+1))^k$
Serie a t. positivi. Si può portare fuori dal segno della sommatoria la $k$ in questo modo $k*\sum_{k=1}^(\+infty) 1/(root(3)(k+1))^k$? Devo cambiare l'indice di partenza della sommatoria? In ogni caso come la risolvo?

la serie dipende da $k$ , quindi non puoi portare fuori nulla dal simbolo di sommatoria; criterio della radice

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty} \left(\frac{k}{(\sqrt[3]{k+1})^k }\right) ^{\frac{1}{k}}=\lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]k}{ \sqrt[3]{k+1}}=0 \end{align*}

"vfldj":
11) $\sum_{k=1}^(\+infty) ((2k),(k))*2^(-k)$
Serie a t. positivi. Ho usato il metodo del rapporto e ho ottenuto che la serie converge ma le soluzioni dicono che diverge..

per definizione si ha

\begin{align*}
{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}\quad \to\quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k!((2k)-k)!}\cdot2^{-k}=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k! k!}\cdot2^{-k}=
\end{align*}

applicando il criterio del rapporto:

\begin{align*}
\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k+2)!}{(k+1)! (k+1)!}\cdot2^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot2^{ k}&=\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k)!(2k+2)(2k+1) }{k!(k+1) k!(k+1) }\cdot2^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot2^{ k}\\
&\sim\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{2}\cdot\frac{4k^2}{k^2}=2>1\to\text{diverge}
\end{align*}

"vfldj":
12) $\sum_{k=2}^(\+infty) ((2k),(k))*5^(-k)$
Serie a t. positivi.

come prima

\begin{align*}
{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}\quad \to\quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k!((2k)-k)!}\cdot5^{-k}=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k! k!}\cdot5^{-k}=
\end{align*}


applicando il criterio del rapporto:

\begin{align*}
\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k+2)!}{(k+1)! (k+1)!}\cdot5^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot5^{ k}&=\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k)!(2k+2)(2k+1) }{k!(k+1) k!(k+1) }\cdot5^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot5^{ k}\\
&\sim\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{5}\cdot\frac{4k^2}{k^2}=\frac{4}{5} \end{align*}

[noipo]

"Delirium":Solo qualche osservazione:

[quote="vfldj"][...]
3) $\sum_{k=1}^(\+infty) (k!)/k^k$
Serie a t. positivi. Con il criterio del rapporto ho ottenuto 1 e gli altri criteri non so come applicarli..

Sbagliato. Si ha \[\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} \cdot \frac{k^{k}}{k!}=\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)}{(k+1)^{k} (k+1)} \cdot {k^{k}}=\lim_{k \to \infty} \left( \frac{k}{k+1} \right)^{k} = \frac{1}{e} < 1 \]
[/quote]

Ah ok effettivamente così è più furbo di come ho fatto io cioè: $\lim_{n \to \+infty}((k+1)! * k^k)/((k+1)^(k+1) * k!) = \lim_{n \to \+infty}((k+1)* k! * k^k)/((k+1)^k *(k+1) * k!) = \lim_{n \to \+infty}k^k/(k^k + ...)$ ed il rapporto fa 1. Non so se è giusto ma ho considerato $(k+1)^k$ come $k^k $ più qualcosa di non rilevante in quanto $k \to \+infty$..

[Sk_Anonymous]

"vfldj":[...]Non so se è giusto ma ho considerato $(k+1)^k$ come $k^k $ più qualcosa di non rilevante in quanto $k \to \+infty$..

Non puoi farlo. Se tu avessi avuto \(\displaystyle k \) e \(\displaystyle k+1 \) il passaggio sarebbe stato più lecito, ma con quell'esponente non se ne fa niente. Prova soltanto a ragionare intorno al seguente fatto: \[\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k}}{k^{k}}=\lim_{k \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k}=e\] il che significa che all'infinito \(\displaystyle (k+1)^{k} \) "è quasi il triplo" di \(\displaystyle k^{k} \)!

[noipo]

Ok grazie!

[noipo]

"Noisemaker":[quote="vfldj"]Ciao, sto facendo un sacco di esercizi sulle serie ma alcuni di essi non mi vengono:

1) $\sum_{k=2}^(\+infty) (k+sqrt(k))/(k^2-k)$

$ (k+sqrt(k))/(k^2-k)\sim k /k^2 =1/k\to \text{diverge per confronto}$

"vfldj":
2) $\sum_{k=1}^(\+infty) (sqrt(k+1)-sqrt(k))/k$
Serie a t. positivi. Non so proprio quale criterio usare..

come da suggerimento,

$ (sqrt(k+1)-sqrt(k))/k=\frac{1}{k(\sqrt{k+1}+\sqrt k)}\sim \frac{1}{k(2\sqrt k )}= \frac{1}{k^{3/2}}\to \text{converge}$

"vfldj":


4) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^40/(k!)$
Serie a t. positivi. Che criterio uso? Non posso raccogliere..

$ k^40/(k!)<\frac{1}{k!}\to\text{converge per confronto}$

si poteva usare anche il criterio del rapporto:

$ \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{40}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{k^{40}}=\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{40}}{k^{40}}\cdot\frac{k!}{k!(k+1)}=\lim_{k \to \infty} 1\cdot\frac{1}{k+1}=0

"vfldj":
5) $\sum_{k=1}^(\+infty) k^k/((2k)!)$
Serie a t. positivi. Cosa uso?

il criterio del rapporto:

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty}\frac{(k+1)^{k+1}}{(2k+2)!}\cdot\frac{(2k)!}{k^k}&=\lim_{k \to \infty}\frac{(k+1)^k }{k^k}\cdot(k+1)\cdot\frac{(2k)!}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}\\
&=\lim_{k \to \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot\frac{k+1}{(2k+1)(2k+2)}=e\cdot0=0\to\text{converge}
\end{align*}

"vfldj":
6) $\sum_{k=1}^(\+infty) (5/(k+1))^(k(k-1))$
Serie a t. positivi. Con il criterio della radice ottengo 1..

il criterio del rapporto:

$\sum_{k=1}^(\+infty) (5/(k+1))^(k(k-1))= \sum_{k=1}^(\+infty) (5 )^(k(k-1))\cdot(1/(k+1))^(k(k-1)) $

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty}\frac{5^{k^2+k}}{5^{k^2-k}}\cdot\frac{(k+1)^{k^2-k}}{(k+2)^{k^2+k}} &=\lim_{k \to \infty}\frac{5^{k^2 }\cdot5^k}{5^{k^2 }\cdot5^{-k}}\cdot\frac{(k+1)^{k^2 }\cdot(k+1)^{ -k}}{(k+2)^{k^2 }\cdot(k+2)^{ k}}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{5^{2k}}\cdot \left(\frac{ k+1 }{ k+2 }\right)^{k^2}\cdot\frac{1}{(n+2)^{2n}}\\
&=0\cdot0\cdot 0 =0\to\text{converge}
\end{align*}

"vfldj":
7) $\sum_{k=1}^(\+infty) 1/2^(lnk)$
Serie a t. positivi. Ad occhio direi che va usato il criterio della radice ma $1^(lnk) != 1$..

criterio di condensazione di Cauchy:

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{\ln k}}\to \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{2^{\ln 2^n}} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{2^{n\ln 2 }} =\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{2}{2^{ \ln 2 }}\right)^n \to\text{diverge, serie geometrica }
\end{align*}
essendo

$\frac{2}{2^{ \ln 2 }}\sim1,2>1$

"vfldj":
8) $\sum_{k=1}^(\+infty) (2+(-1)^k)/k^2$
Serie a t. positivi. Mi sono persa nei calcoli provando il criterio del rapporto..

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2+(-1)^k}{k^2} =\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2 }{k^2} + \frac{ (-1)^k}{k^2} =\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2 }{k^2} +\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{ (-1)^k}{k^2} \to \text{converge}
\end{align*}
in quanto somma di sue serie convergenti, la prima serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno, la seconda convergente per Leibniz

"vfldj":
9) $\sum_{k=1}^(\+infty) lnk/k$
Serie a t. positivi. Ho usato il criterio del rapporto e mi viene $0$ perciò converge ma nelle soluzioni c'è scritto che diverge..

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\ln k}{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k\cdot\ln^{-1} k}\to \text{diverge}
\end{align*}
oppure
\begin{align*}
\frac{\ln k}{k}> \frac{1}{k }\to \text{diverge}
\end{align*}

"vfldj":
10) $\sum_{k=1}^(\+infty) k/(root(3)(k+1))^k$
Serie a t. positivi. Si può portare fuori dal segno della sommatoria la $k$ in questo modo $k*\sum_{k=1}^(\+infty) 1/(root(3)(k+1))^k$? Devo cambiare l'indice di partenza della sommatoria? In ogni caso come la risolvo?

la serie dipende da $k$ , quindi non puoi portare fuori nulla dal simbolo di sommatoria; criterio della radice

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty} \left(\frac{k}{(\sqrt[3]{k+1})^k }\right) ^{\frac{1}{k}}=\lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]k}{ \sqrt[3]{k+1}}=0 \end{align*}

"vfldj":
11) $\sum_{k=1}^(\+infty) ((2k),(k))*2^(-k)$
Serie a t. positivi. Ho usato il metodo del rapporto e ho ottenuto che la serie converge ma le soluzioni dicono che diverge..

per definizione si ha

\begin{align*}
{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}\quad \to\quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k!((2k)-k)!}\cdot2^{-k}=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k! k!}\cdot2^{-k}=
\end{align*}

applicando il criterio del rapporto:

\begin{align*}
\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k+2)!}{(k+1)! (k+1)!}\cdot2^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot2^{ k}&=\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k)!(2k+2)(2k+1) }{k!(k+1) k!(k+1) }\cdot2^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot2^{ k}\\
&\sim\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{2}\cdot\frac{4k^2}{k^2}=2>1\to\text{diverge}
\end{align*}

"vfldj":
12) $\sum_{k=2}^(\+infty) ((2k),(k))*5^(-k)$
Serie a t. positivi.

come prima

\begin{align*}
{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}\quad \to\quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k!((2k)-k)!}\cdot5^{-k}=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k)!}{k! k!}\cdot5^{-k}=
\end{align*}


applicando il criterio del rapporto:

\begin{align*}
\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k+2)!}{(k+1)! (k+1)!}\cdot5^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot5^{ k}&=\lim_{k \to +\infty} \frac{(2k)!(2k+2)(2k+1) }{k!(k+1) k!(k+1) }\cdot5^{-k-1}\cdot \frac{k! k!}{(2k)!}\cdot5^{ k}\\
&\sim\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{5}\cdot\frac{4k^2}{k^2}=\frac{4}{5} \end{align*}[/quote]

Grazie mille!!

[Sk_Anonymous]

Ovviamente ti consiglierei di cimentarti nuovamente negli esercizi, e solo in seguito di confrontare il tuo svolgimento con le soluzioni che ti sono state propinate - in particolare il messaggio di Noisemaker è sicuramente più completo del mio, ma inutile dal punto di vista didattico.

[noipo]

"Delirium":Ovviamente ti consiglierei di cimentarti nuovamente negli esercizi, e solo in seguito di confrontare il tuo svolgimento con le soluzioni che ti sono state propinate - in particolare il messaggio di Noisemaker è sicuramente più completo del mio, ma inutile dal punto di vista didattico.

Ne sto già facendo altri

[noipo]

Ma se ho una serie come questa:
$\sum_{k=0}^(\+infty) 3^(n+1)/\pi^n$ posso fare $\sum_{k=0}^(\+infty) (3^n * 3)/\pi^n = 3*\sum_{k=0}^(\+infty) (3\pi)^n$ ?
Poi utilizzerei il criterio della radice ottenendo $\lim_{n \to \+infty}3/(\pi) = 3/(\pi) \sim 0.95 $ quindi $<1$ perciò la serie è Convergente ma quel $3$ che avevo portato fuori?

[Sk_Anonymous]

Quel \(\displaystyle 3 \) che hai portato fuor di sommatoria non fa più parte del termine generale. Ciò che ti interessa è il comportamento di \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{3}{\pi} \right)^{n} \] - che poteva essere dedotto anche ricordando la formula per la serie geometrica. Ad ogni modo, per levarti ogni dubbio, puoi studiare direttamente \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n+1}}{\pi^{n}} \] con il criterio della radice e notare che \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{3 \cdot 3^{n}}{\pi^{n}} }=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{3} \cdot 3}{\pi}=\frac{3}{\pi}\]

[noipo]

Ah ok quindi posso ogni volta portare fuori dal segno di sommatoria e ciò che è fuori non lo considero più, giusto? Per essere sicuri..

[21zuclo]

"vfldj":Ah ok quindi posso ogni volta portare fuori dal segno di sommatoria e ciò che è fuori non lo considero più, giusto? Per essere sicuri..

mah in generale sì.. puoi fare sempre questo $\sum c \cdot a_n= c \cdot \sum a_n \Leftrightarrow c!= 0, c\in \mathbb{R}$

[Sk_Anonymous]

Sì, l'eventuale costante al di fuori del simbolo di sommatoria non ne modificherà il carattere... Se una serie diverge non sarà di certo la moltiplicazione per un numero reale diverso da zero a farle cambiare idea; idem per la convergenza, o la non convergenza.

[noipo]

Va bene, grazie ad entrambi!