Esercizi sul calcolo area superfici ( e parametrizzazione)
ciao
La superficie di equazione $x^2+y^2+z^2=1$ con $ z>=0$ ha un'area maggiore di $\pi$ ? La risposta esatta è VERO
Però a me viene che è uguale a $\pi$, ho fatto così:
$\{(x=cos a sin b),(y=sin a sin b),(z= cos b):} $
$a in [0,2\pi] $ e $b in [0, \pi/2]$
$A=\int_{0}^{\2pi} da \int_{0}^{\pi/2} sen b d b = \pi $
quale erroraccio ho commesso?
Poi c'è l'altro dove devo Calcolare l'area della superficie sferica $z=[R^2-x^2-y^2]^(1/2) $
interna al cilindro $x^2+y^2=Rx $con R>0
$x^2+y^2=Rx $ è la circonferenza di centro c(R/2,0) e raggio r=R/2
viene parametrizza con $x=p cos a +R/2 $, $y=p sen a$ con a tra$ [-pi/2, pi/2]$ e p tra $[0,R cos a /2]$
Perchè fa una cosa del genere?
Non sarebbe corretto scrivere a tra $ [0, pi 2]$ e p tra $[0,R/2]$ ?
ah ecco, un'altra cosa: se devo trovare gli estremanti di una curva e posso usare solo il gradiente e le curve di livello, come faccio?
so che il gradiente indica la direzione d massima pendenza della funzione e che è perpendicolare alle curve di livello punto per punto
f(x,y)=k --> f(x,y)-k=0
e se il gradiente è costante in ogni punto non ci sono estremanti?
La superficie di equazione $x^2+y^2+z^2=1$ con $ z>=0$ ha un'area maggiore di $\pi$ ? La risposta esatta è VERO
Però a me viene che è uguale a $\pi$, ho fatto così:
$\{(x=cos a sin b),(y=sin a sin b),(z= cos b):} $
$a in [0,2\pi] $ e $b in [0, \pi/2]$
$A=\int_{0}^{\2pi} da \int_{0}^{\pi/2} sen b d b = \pi $
quale erroraccio ho commesso?
Poi c'è l'altro dove devo Calcolare l'area della superficie sferica $z=[R^2-x^2-y^2]^(1/2) $
interna al cilindro $x^2+y^2=Rx $con R>0
$x^2+y^2=Rx $ è la circonferenza di centro c(R/2,0) e raggio r=R/2
viene parametrizza con $x=p cos a +R/2 $, $y=p sen a$ con a tra$ [-pi/2, pi/2]$ e p tra $[0,R cos a /2]$
Perchè fa una cosa del genere?
Non sarebbe corretto scrivere a tra $ [0, pi 2]$ e p tra $[0,R/2]$ ?
ah ecco, un'altra cosa: se devo trovare gli estremanti di una curva e posso usare solo il gradiente e le curve di livello, come faccio?
so che il gradiente indica la direzione d massima pendenza della funzione e che è perpendicolare alle curve di livello punto per punto
f(x,y)=k --> f(x,y)-k=0
e se il gradiente è costante in ogni punto non ci sono estremanti?
Risposte
Ciao. Per quanto riguarda il primo, a me sembra che tu ti sia lanciata in calcoli che potevano benissimo essere evitati, confesso che non li ho guardati granchè ma date le conclusioni contengono certamente almeno un errore. La superficie in questione è quella di un emisfero di raggio $1$ e centro l'origine, compreso il cerchio che lo delimita (per $z=0$). La semisfera ha superficie $S_1=1/2*4 pi r^2=2 pi r^2$, mettici anche il cerchio con $S_2=pi r^2$ e hai (per $r=1$) un'area complessiva di $3 pi$.
Potresti mettere un titolo che indichi l'argomento del thread? Grazie.
Grazie palliit! non ci avevo pensato!
comunque mi interessa sapere se la parametrizzazione che ho usato è esatta e se sono esatti gli intervalli che ho scelto!
comunque mi interessa sapere se la parametrizzazione che ho usato è esatta e se sono esatti gli intervalli che ho scelto!
quale erroraccio ho commesso?
Rispondo solo alla prima domanda
hai sbagliato a calcolarti il semplicissimo integrale che hai scritto, l'impostazione è corretta!
"baldo89":
Rispondo solo alla prima domanda
Grazieee ! però perchè rispondi solo alla prima?
domani ho l'esame (
) e mi farebbe piacere se qualcuno mi aiutasse a chiarire anche quegli ultimi due dubbi che ho
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