Esercizi sui limiti Matematica Generale

[troz455]

Salve a tutti.
Vi presento due limiti che ho trovato nel mio esame di matematica generale di cui non sono sicuro del risultato.

$ lim_( -> <0>) (sin ^2x+1-cos9x)/(x) $ questo mi viene $ oo $


$lim_( -> ) x^2(tan (3/x)-tan (2/x))$ e questo mi viene 0 (ma sono molto in dubbio)

[Plepp]

Scusa, ma "c v" cos'è? $105$?

EDIT: ah ecco

[Plepp]

Il primo mi pare faccia zero (al numeratore ci sono infinitesimi di ordine superiore); il secondo vale $+\infty$ (poni $t : = 1/x$). Insomma, hai invertito i risultati

[Hadronen]

"Plepp":Il primo mi pare faccia zero (al numeratore ci sono infinitesimi di ordine superiore); il secondo vale $+\infty$ (poni $t : = 1/x$). Insomma, hai invertito i risultati

Sì, senza dubbio.

[21zuclo]

"troz455":Salve a tutti.
Vi presento due limiti che ho trovato nel mio esame di matematica generale di cui non sono sicuro del risultato.

$ lim_( -> <0>) (sin ^2x+1-cos9x)/(x) $ questo mi viene $ oo $


$lim_( -> ) x^2(tan (3/x)-tan (2/x))$ e questo mi viene 0 (ma sono molto in dubbio)

io userei gli sviluppi di Taylor-MacLaurin

nel primo limite visto che $x\rightarrow0$

NUMERATORE $x^2+o(x^2)+1-1+(81x^2)/2+o(x^2)= (1+81/2)x^2+o(x^2)$

quindi hai
$\lim_{x\rightarrow 0} (sin ^2x+1-cos9x)/(x)=\lim_{x\rightarrow 0}(x^2+81/2x^2+o(x^2))/(x) \sim (x^2)/(x)+(81/2x^2)/(x)=x+81/2x =0$ per $x\rightarrow0$

il primo limite è 0

fai lo stesso con il secondo limite, usa gli sviluppi di Taylor-McLaurin

[Plepp]

@21zuclo: basta il prim'ordine troppi calcoli

[21zuclo]

@plepp
ma è al primo ordine..

$\sin x=x+o(x)$

$\cos x=1-(x^2)/2+o(x^2)$

qui c'era un $\sin^2 x$

[troz455]

Ho rifatto entrambi i limiti con calma e in effetti il primo mi viene 0 e il secondo infinito

[troz455]

"Hadronen":[quote="Plepp"]Il primo mi pare faccia zero (al numeratore ci sono infinitesimi di ordine superiore); il secondo vale $+\infty$ (poni $t : = 1/x$). Insomma, hai invertito i risultati

Sì, senza dubbio.[/quote]

scusa mi faresti gentilmente vedere come lo hai svolto con la sostituzione?
Grazie

[Plepp]

@21zuclo: pardon, hai ragione.
Se $x\to +\infty$, allora $t\to 0^+$, no? Ottieni
\[\lim_{t\to 0^+}\dfrac{\tan 3t-\tan 2t}{t^2}\]
Sviluppa la tangente al prim'ordine e hai finito.