Esercizi sui limiti delle succession per x che tende a infinito

[Elena9612]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano per risolvere i seguenti esercizi:

1. $ lim_(x -> oo ) root(n)(n^4+1 $

(i miei passaggi:
$ lim_(x -> oo ) root(n)(n^4(1+1/n^4) $


tra parentesi mi ritrovo qualcosa che tende a 1 ma a quanto tende $ lim_(x -> oo ) root(n)(n^4 $ ?? )


2.$ lim_(x -> oo ) (n/(n+1))^(n^a $
per a=1 oppure a=0 la successione tende a 0 ma per a>1 ?



Gli esercizi che temo di più sono quelli con i fattoriali... Come posso "semplificarmeli"?


3. $ lim_(x -> oo ) (sqrt((n! +n^2))- sqrt(n!+4^n))/(sqrt(n!+3^n)-sqrt(2n! $


4. $ lim_(x -> oo ) ((n^2)!n^3)/((n+1)!n!(2n)! $


Grazie a tutti per l'attenzione !( e la comprensione )

[phaerrax]

Nel primo punto, e in generale quando hai sia base che esponente in dipendenza da una variabile, è utile l'identità \(a^b=e^{b\log a}\): in questo caso ottieni
\[
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n^4}=\lim_{n\to+\infty}n^{4/n}=\lim_{n\to+\infty}\exp\Big(\frac4{n}\log n\Big)
\]
che puoi risolvere più facilmente.
Lo stesso metodo può essere applicato al punto 2: puoi trasformare la successione in
\[
\bigg(\frac{n}{n+1}\bigg)^{n^a}=\exp\bigg(n^a\log\frac{n}{n+1}\bigg)=\exp\bigg[-n^a\log\Big(1+\frac1{n}\Big)\bigg].
\]

[Elena9612]

Ciao! Grazie per la risposta ma ancora non abbiamo trattato i logaritmi e pertanto il professore vorrebbe dei passaggi più " elementari".
C'è un altro modo ?

[francicko]

$lim_(n->infty)(n/(n+1))^(n^(alpha)) $ $=lim(1/((n+1)/n))^(n^alpha) $ $=lim (1/(1+1/n))^(n^(alpha))$
e per esempio $alpha=1$ si ha $lim_(n->infty)1/(1+1/n)^n=1/e $;
Nel limite n.3 e' evidente che il fattore predominante aia a numeratore che a denominatore per $n->infty $ e' $n!$ pertanto dovrebbe dare $0$ come risultato.