Esercizi sui limiti
Ciao a tutti, [tex][/tex]
sto cercando di fare degli esercizi sui limiti ma non sono capace, non so se il mio modo di ragionare sia corretto o meno.
1) $\lim_{n \to +\infty}(4^n + 3^n)/(2^n + \p^(n-1))$
In questo caso osservo num e den e vedo quale dei due cresce più velocemente all'aumentare di $n$. Vedo che num e den mi danno $+\infty$. Quindi? Come lo risolvo?
2) $\lim_{n \to +\infty}(n!)/(n^5 + 5^n)$
$n!$ va più veloce di $n^5 + 5^n$ quindi il risultato è $+\infty$.
3) $\lim_{n \to +\infty}(e^n - n^6)$
Viene $+\infty - \infty$. Quindi?
4) $\lim_{n \to +\infty}(n* logn)/(n^5 - 6n^2 +1)$
Il logaritmo è una funzione che cresce lentamente quindi il risultato è $0$.
5) $\lim_{n \to +\infty}(e^(2n) + 7n^2 + 1)/(n! + e^(2n))$
Non saprei...
Chi mi aiuta a come risolvere i limiti?
Grazie
sto cercando di fare degli esercizi sui limiti ma non sono capace, non so se il mio modo di ragionare sia corretto o meno.
1) $\lim_{n \to +\infty}(4^n + 3^n)/(2^n + \p^(n-1))$
In questo caso osservo num e den e vedo quale dei due cresce più velocemente all'aumentare di $n$. Vedo che num e den mi danno $+\infty$. Quindi? Come lo risolvo?
2) $\lim_{n \to +\infty}(n!)/(n^5 + 5^n)$
$n!$ va più veloce di $n^5 + 5^n$ quindi il risultato è $+\infty$.
3) $\lim_{n \to +\infty}(e^n - n^6)$
Viene $+\infty - \infty$. Quindi?
4) $\lim_{n \to +\infty}(n* logn)/(n^5 - 6n^2 +1)$
Il logaritmo è una funzione che cresce lentamente quindi il risultato è $0$.
5) $\lim_{n \to +\infty}(e^(2n) + 7n^2 + 1)/(n! + e^(2n))$
Non saprei...
Chi mi aiuta a come risolvere i limiti?
Grazie
Risposte
si possono risolvere tutti usando la gerarchia degli infiniti
Allora devi sempre guardare chi porta numeratore e doenominatore all'infinito. Ricorda sempre la "classifica":
1) fattoriale
2) esponenziale (in ordine di base)
3) polinomio (in ordine di grado massimo)
4) logaritmo (in ordine di base)
ora
1) sostituendo trovi l'indecisione $\frac{infty}{infty}$.
Ora controlla chi comanda. Al numeratore è certo $4^n$. Al denominatore devi porre qualche distinguo. Infatti se $p<4$ allora il massimo è $2^n$ o $p^{n-1}$ ma in ogni caso il numeratore è sempre più alto dunque il limite è $+\infty$. Se invece $p=4$ il limite è finito e risulta $4$. Infine con $p>4$ il denominatore diventa più grande e il limite tende a $0^+$.
2) Anche il secondo è $\frac{infty}{infty}$ e l'hai risolto correttamente
3) Il terzo c'è l'esponenziale e, andando all'infinito, supera il polinomio. Cosa succede?
Se hai capito risolvi anche il quarto.
1) fattoriale
2) esponenziale (in ordine di base)
3) polinomio (in ordine di grado massimo)
4) logaritmo (in ordine di base)
ora
1) sostituendo trovi l'indecisione $\frac{infty}{infty}$.
Ora controlla chi comanda. Al numeratore è certo $4^n$. Al denominatore devi porre qualche distinguo. Infatti se $p<4$ allora il massimo è $2^n$ o $p^{n-1}$ ma in ogni caso il numeratore è sempre più alto dunque il limite è $+\infty$. Se invece $p=4$ il limite è finito e risulta $4$. Infine con $p>4$ il denominatore diventa più grande e il limite tende a $0^+$.
2) Anche il secondo è $\frac{infty}{infty}$ e l'hai risolto correttamente
3) Il terzo c'è l'esponenziale e, andando all'infinito, supera il polinomio. Cosa succede?
Se hai capito risolvi anche il quarto.
Per questi esercizi devi anche sapere che:
$\lim_{n ->oo} \log n / n^b = n^b / a^n = a^n / (n!) = (n!) / (n^n) = 0$ quando $b>1$ ed $a>0$
Facciamo il 3) ad esempio:
$\lim_{n->oo} (e^n - n^6) = e^n (1 - n^6/e^n)$
Dentro la parentesi hai questo termine $n^6/e^n$ dove tu sai che vale $ n^b / a^n = 0$ per $n->oo$ e la puoi usare ovviamente perchè $6 > 1$ ed $e > 0$ quindi tornando al limite:
$\lim_{n->oo} (e^n - n^6) = e^n (1 - n^6/e^n) = e^n (1 - 0) = e^n = oo$ capito?
Puoi fare più o meno così anche per tutti gli altri limiti...mi raccomando fai sempre questi passaggi al compito e non dire al volo che il limite è infinito...
$\lim_{n ->oo} \log n / n^b = n^b / a^n = a^n / (n!) = (n!) / (n^n) = 0$ quando $b>1$ ed $a>0$
Facciamo il 3) ad esempio:
$\lim_{n->oo} (e^n - n^6) = e^n (1 - n^6/e^n)$
Dentro la parentesi hai questo termine $n^6/e^n$ dove tu sai che vale $ n^b / a^n = 0$ per $n->oo$ e la puoi usare ovviamente perchè $6 > 1$ ed $e > 0$ quindi tornando al limite:
$\lim_{n->oo} (e^n - n^6) = e^n (1 - n^6/e^n) = e^n (1 - 0) = e^n = oo$ capito?
Puoi fare più o meno così anche per tutti gli altri limiti...mi raccomando fai sempre questi passaggi al compito e non dire al volo che il limite è infinito...
Grazie a FedeCapo e davidedesantis!
Si capito un pò di più ma è comunque un casino..Come ho risolto la 4) non va bene?
Per la 5) ho fatto
$\lim_{n \to +\infty}(e^(2n) + 7n^2 +1)/(n! + e^(2n)) = \lim_{n \to +\infty}(e^(2n)(1+((7n^2)/e^(2n))+(1/e^(2n)))/(1+((n!)/e^(2n))))$
Quindi il num tende a $1 + 0 + 0 = 1$ e il den a $1 + 0 = 1$ perciò il limite tende a $1/1= 1$
mmmh...
Si capito un pò di più ma è comunque un casino..Come ho risolto la 4) non va bene?
Per la 5) ho fatto
$\lim_{n \to +\infty}(e^(2n) + 7n^2 +1)/(n! + e^(2n)) = \lim_{n \to +\infty}(e^(2n)(1+((7n^2)/e^(2n))+(1/e^(2n)))/(1+((n!)/e^(2n))))$
Quindi il num tende a $1 + 0 + 0 = 1$ e il den a $1 + 0 = 1$ perciò il limite tende a $1/1= 1$
mmmh...
il 4) puoi anche farlo con de l'hopital...oppure ci sei che:
per $n->oo$
$ (n\ \log n) / (n^5 - 6n^2 + 1) \sim \log n / n^4 = 0$?
Non basta dire
per $n->oo$
$ (n\ \log n) / (n^5 - 6n^2 + 1) \sim \log n / n^4 = 0$?
Non basta dire
Il logaritmo è una funzione che cresce lentamente quindi il risultato è 0.
"davidedesantis":
il 4) puoi anche farlo con de l'hopital...oppure ci sei che:
per $n->oo$
$ (n\ \log n) / (n^5 - 6n^2 + 1) \sim \log n / n^4 = 0$?
$\log n / n^4 = 0$ a questo sei arrivato "eliminando" $−6n^2+1$ e poi dividendo per $n$, giusto?
Hai tolto $−6n^2+1$ perchè aveva meno importanza di $n^5$?
$n^5 (1 - (6 n^2) / n^5 + 1 / n^5) \sim n^5 (1 - 0 + 0) \sim n^5$ ci sei?
"davidedesantis":
il 4) puoi anche farlo con de l'hopital...oppure ci sei che:
per $n->oo$
$ (n\ \log n) / (n^5 - 6n^2 + 1) \sim \log n / n^4 = 0$?
Ma sono successioni quindi non sono derivabili.. non penso che nel compito possa farlo o sbaglio?
ah sinceramente non c'avevo pensato, comunque @vfldjil procedimento che ti ho scritto è valido...
aaah ho capito Grazie..
mah l'esame è a giugno e penso che fino a giugno avremo tempo di fare le derivate quindi sarà valido
Grazie ancora
Grazie..mah l'esame è a giugno e penso che fino a giugno avremo tempo di fare le derivate quindi sarà valido
Grazie ancora
"davidedesantis":
il 4) puoi anche farlo con de l'hopital...
Stai scherzando, vero?
eh ragazzi avete ragione, ma è questo il bello del forum, che non si finisce mai di imparare...
Mi pare di aver detto già in un altro topic che esiste un teorema equivalente al criterio di De l'Hôpital per le successioni, il teorema di Stolz-Cesàro.
"Delirium":
Mi pare di aver detto già in un altro topic che esiste un teorema equivalente al criterio di De l'Hôpital per le successioni, il teorema di Stolz-Cesàro.
good
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