Esercizi sui limiti
Di seguito alcuni degli esercizi sui limiti che, invano, ho provato a fare in questi ultimi giorni.
Esercizio 7b. Determinare la parte principale rispetto a $x$ per $x\rightarrow 0$ dell'infinitesimo $(\cos(x))^\frac{1}{3}-1$.
Ho provato a scrivere $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos(x))^\frac{1}{3}-1}{x^\alpha}$ ma poi non so continuare in alcun modo, pur sapendo ad esempio che $cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o[x^2]$.
Esercizio 10a. $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x)$. Faccio il denominatore comune ma poi anche in questo caso mi blocco completamente.
Esercizio 10d. $\lim_{x\rightarrow+\infty}(xe^{\frac{1}{|x^2-1|}}-x)$. Tolgo il valore assoluto in quanto $x\rightarrow+\infty$, ma poi mi perdo.
Grazie per qualsiasi suggerimento.
Esercizio 7b. Determinare la parte principale rispetto a $x$ per $x\rightarrow 0$ dell'infinitesimo $(\cos(x))^\frac{1}{3}-1$.
Ho provato a scrivere $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos(x))^\frac{1}{3}-1}{x^\alpha}$ ma poi non so continuare in alcun modo, pur sapendo ad esempio che $cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o[x^2]$.
Esercizio 10a. $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x)$. Faccio il denominatore comune ma poi anche in questo caso mi blocco completamente.
Esercizio 10d. $\lim_{x\rightarrow+\infty}(xe^{\frac{1}{|x^2-1|}}-x)$. Tolgo il valore assoluto in quanto $x\rightarrow+\infty$, ma poi mi perdo.
Grazie per qualsiasi suggerimento.
Risposte
"booleandomain":
Di seguito alcuni degli esercizi sui limiti che, invano, ho provato a fare in questi ultimi giorni.
Esercizio 7b. Determinare la parte principale rispetto a $x$ per $x\rightarrow 0$ dell'infinitesimo $(\cos(x))^\frac{1}{3}-1$.
ciao
io avrei risolto così moltiplica num e den per il fattore
$((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1)$
$(cosx-1)/x^(alpha)$ ottieni $alpha=2$
dunque parte principale è : $-x^2/2*1/3=-x^2/6$
Scusa puoi mettere gentilmente più passaggi? Non riesco a capire dove saltano fuori le cose... Grazie.
Comunque il risultato è concorde con quanto dice il mio libro.
Comunque il risultato è concorde con quanto dice il mio libro.
$(((cosx)^(1/3)-1)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1))/(x^(alpha)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1)$
$(cosx-1)/(x^(alpha)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1 )$
$(cosx-1)/(x^(alpha))*1/((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1 )$
fai il lim per x che tende a zero e dimmi se sei d'accordo
$(cosx-1)/(x^(alpha)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1 )$
$(cosx-1)/(x^(alpha))*1/((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1 )$
fai il lim per x che tende a zero e dimmi se sei d'accordo
Esercizio 10a.
dopo avere fatto il denominatore comune puoi considerare che, per $x->+infty$ abbiamo $sqrt(x^2 - 1)~x$
sostituisci nel tuo limite e ti trovi che vale 0.
dimmi se ti trovi (e se è giusto)
dopo avere fatto il denominatore comune puoi considerare che, per $x->+infty$ abbiamo $sqrt(x^2 - 1)~x$
sostituisci nel tuo limite e ti trovi che vale 0.
dimmi se ti trovi (e se è giusto)
"piero_":
$(((cosx)^(1/3)-1)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1))/(x^(alpha)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1)$
$(cosx-1)/(x^(alpha)((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1 )$
$(cosx-1)/(x^(alpha))*1/((cos^2x)^(1/3)+(cosx)^(1/3)+1 )$
fai il lim per x che tende a zero e dimmi se sei d'accordo
Praticamente quindi hai utilizzato la seguente uguaglianza: $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Non mi sarebbe mai venuto in mente... grazie!
prego
(vedrai che la prossima volta te la ricordi)
(vedrai che la prossima volta te la ricordi)
Esercizio 10a:
$\lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1}{x\sqrt{1-1/x^2}}-x)=\lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1}{x}-x)=lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1-x^2}{x})=lim_(x->+\infty)(\frac{1}{x})=0$
Esercizio 10d:
$\lim_(x->+\infty)x(e^\frac{1}{|x^2-1|}-1)=\lim_(x->+\infty)\frac{x}{|x^2-1|}\frac{e^\frac{1}{|x^2-1|}-1}{\frac{1}{|x^2-1|}}=\lim_(x->+\infty)\frac{x}{|x^2-1|}*1=0$
$\lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1}{x\sqrt{1-1/x^2}}-x)=\lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1}{x}-x)=lim_(x->+\infty)(\frac{x^2+1-x^2}{x})=lim_(x->+\infty)(\frac{1}{x})=0$
Esercizio 10d:
$\lim_(x->+\infty)x(e^\frac{1}{|x^2-1|}-1)=\lim_(x->+\infty)\frac{x}{|x^2-1|}\frac{e^\frac{1}{|x^2-1|}-1}{\frac{1}{|x^2-1|}}=\lim_(x->+\infty)\frac{x}{|x^2-1|}*1=0$
"piero_":
Esercizio 10a.
dopo avere fatto il denominatore comune puoi considerare che, per $x->+infty$ abbiamo $sqrt(x^2 - 1)~x$
sostituisci nel tuo limite e ti trovi che vale 0.
dimmi se ti trovi (e se è giusto)
Diciamo che vorrei evitare l'utilizzo degli asintotici in favore degli o piccoli... Pertanto mi sono permesso di sostituire $x+o[x]$ a $\sqrt{x^2-1}$, ma in questo modo ottengo $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{o[x^2]}{o[x]}$ che non è possibile risolvere.
Scusa ma se una funzione è $"o"(x^2)$, allora essa è sicuramente anche un $"o"(x)$; quindi...
Allora il procedimento che ho svolto è il seguente:
$\lim(\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim\frac{x^2+1-x(x+o[x])}{x+o[x]}=\lim\frac{1+o[x^2]}{x+o[x]}=\lim\frac{o[x^2]}{o[x^2]}$ che ovviamente non fa $1$...
Dove sbaglio? Forse non è sufficiente sviluppare $\sqrt{x^2-1}$ come $x+o[x]$?
$\lim(\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim\frac{x^2+1-x(x+o[x])}{x+o[x]}=\lim\frac{1+o[x^2]}{x+o[x]}=\lim\frac{o[x^2]}{o[x^2]}$ che ovviamente non fa $1$...
Dove sbaglio? Forse non è sufficiente sviluppare $\sqrt{x^2-1}$ come $x+o[x]$?
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