Esercizi sui complessi ,help me :(

[Ariz93]

Sono le prime nozioni ma non mi vanno proprio giù, qualcuno mi aiuta? :S
Descrivere l'insieme dei numeri complessi z per cui :

\(\displaystyle \alpha) |z-(1-i)| =2 \)

\(\displaystyle \beta) (1-i)z-(1+i)\overline z =i \)

\(\displaystyle \gamma) |z| <\ |z+i| \)

ok credo che devo trovare $ W = { z\in C | $ \(\displaystyle prop.zeta \) $ } $
ma devo trovare a e b tramite i moduli? cioè \(\displaystyle a,b \in R t.c. z=a+ib \)?

[walter891]

vediamo il primo: se sostituisci $z$ con $a+ib$ facendo un po' di conti ottieni $sqrt(a^2+b^2-2a+2b+2)=2$ ed elevando a quadrato rimane l'equazione di una circonferenza

[Ariz93]

Ok concordo con te per il primo ma è sufficiente scrivere :

$W={z \in C | a^2+b^2-2a-2b-2=0} ?$

[Ariz93]

A questo punto li risolvo tutti e via ,(spero siano giusti):

$ beta $

$ (1-i)(a+ib)-(1+i)(a-ib)= i $

viene : $ W ={z \in C | a =- b} $

$ gamma $

$ |a+ib| <|a+ i(b+1) |$

esce fuori : $ W= {z \in C | b > - frac{1}{2}} $

[ciampax]

Il secondo:

$(1-i)(a+ib)-(1+i)(a-ib)=i$
$a-ia+ib+b-a-ia+ib-b=i$
$2ib-2ia=i$
$2b-2a=1$

e quindi la retta nel piano cartesiano di equazione $y=x+1/2$

Il primo si può scrivere così:

$|(a-1)+i(b+1)|=2$

e quindi

$(a-1)^2+(b+1)^2=4$

che è la circonferenza di centro $C(1,-1)$ e raggio $2$.


Per il terzo:

$|a+ib|<|a+i(b+1)|$
$a^2+b^2 $2b+1>0$

e quindi $b> -1/2$, per cui l'insieme è il semipiano sopra la retta $y=-1/2$

[Ariz93]

Perfetto, per il primo e terzo mi vien uguale, per il secondo un errore di calcolo,grazie per la delucidazione sul'esposizione ciampax