Esercizi sugli spazi metrici.
Ciao, ho svolto altri tre esercizi sugli spazi metrici. Secondo voi sono corretti?
i) Mostrare che \(\displaystyle |\mathrm{d}(x,z)-\mathrm{d}(y,z)|\le\mathrm{d}(x,y) \). Si ha, usando \(\displaystyle |a-b|\ge |a|-|b| \) e la disuguaglianza triangolare, che \[ \mathrm{d}(x,y)-|\mathrm{d}(x,z)-\mathrm{d}(z,y)|\ge \mathrm{d}(x,y)-(|\mathrm{d}(x,z)|-|\mathrm{d}(z,y)|)=\mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(z,y)-\mathrm{d}(x,z)\ge 0. \] ii) Sia $d$ una metrica su $X$. Determinare tutte le costanti $k$ tali che \(\displaystyle k\mathrm{d} \) o \(\displaystyle k+\mathrm{d} \) siano delle metriche su $k$.
Nel caso della costante moltiplicativa: sicuramente devo scegliere \(\displaystyle k\ge 0 \), altrimenti la metrica non sarebbe più definita positiva. Inoltre deve valere \(\displaystyle k\mathrm{d}(x,y)\le k\mathrm{d}(x,z)+k\mathrm{d}(z,y) \), ovviamente vero perché $k$ può essere semplificato. Quindi data una metrica posso considerarne qualunque riscalamento per un fattore \(\displaystyle k\in \mathbb{R}^{+} \).
Nel caso della somma: l'assioma rilevante è quello in cui si richiede \(\displaystyle \mathrm{d}(x,x)=0 \). Se \(\displaystyle k\ne 0 \), questo cesserebbe di essere valido; quindi mi viene da pensare che non ci siano altre possibili costanti per cui \(\displaystyle \mathrm{d}+k \) sia una metrica valida.
iii) Nello spazio \(\displaystyle C[a,b] \) si può definire la metrica \(\int_a^{b}|x(t)-y(t)|\mathrm{d}t \). Questo segue da: \[\int_a^{b} |x(t)-y(t)|\mathrm{d}t=\int_a^{b}|x(t)-z(t)+z(t)-y(t)|\mathrm{d}t\le \int_a^{b}(|x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)|)\mathrm{d}t= \\ =\int_a^{b}|x(t)-z(t)|\mathrm{d}t+\int_a^{b}|z(t)-y(t)|\mathrm{d}t. \]
i) Mostrare che \(\displaystyle |\mathrm{d}(x,z)-\mathrm{d}(y,z)|\le\mathrm{d}(x,y) \). Si ha, usando \(\displaystyle |a-b|\ge |a|-|b| \) e la disuguaglianza triangolare, che \[ \mathrm{d}(x,y)-|\mathrm{d}(x,z)-\mathrm{d}(z,y)|\ge \mathrm{d}(x,y)-(|\mathrm{d}(x,z)|-|\mathrm{d}(z,y)|)=\mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(z,y)-\mathrm{d}(x,z)\ge 0. \] ii) Sia $d$ una metrica su $X$. Determinare tutte le costanti $k$ tali che \(\displaystyle k\mathrm{d} \) o \(\displaystyle k+\mathrm{d} \) siano delle metriche su $k$.
Nel caso della costante moltiplicativa: sicuramente devo scegliere \(\displaystyle k\ge 0 \), altrimenti la metrica non sarebbe più definita positiva. Inoltre deve valere \(\displaystyle k\mathrm{d}(x,y)\le k\mathrm{d}(x,z)+k\mathrm{d}(z,y) \), ovviamente vero perché $k$ può essere semplificato. Quindi data una metrica posso considerarne qualunque riscalamento per un fattore \(\displaystyle k\in \mathbb{R}^{+} \).
Nel caso della somma: l'assioma rilevante è quello in cui si richiede \(\displaystyle \mathrm{d}(x,x)=0 \). Se \(\displaystyle k\ne 0 \), questo cesserebbe di essere valido; quindi mi viene da pensare che non ci siano altre possibili costanti per cui \(\displaystyle \mathrm{d}+k \) sia una metrica valida.
iii) Nello spazio \(\displaystyle C[a,b] \) si può definire la metrica \(\int_a^{b}|x(t)-y(t)|\mathrm{d}t \). Questo segue da: \[\int_a^{b} |x(t)-y(t)|\mathrm{d}t=\int_a^{b}|x(t)-z(t)+z(t)-y(t)|\mathrm{d}t\le \int_a^{b}(|x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)|)\mathrm{d}t= \\ =\int_a^{b}|x(t)-z(t)|\mathrm{d}t+\int_a^{b}|z(t)-y(t)|\mathrm{d}t. \]
Risposte
Il ii sì, è corretto, ma c'è un $=$ di troppo nella scelta del primo $k$.
Il iii pure, ma devi verificare anche le altre proprietà.
Per i potresti pure usare le sole simmetria e disuguaglianza triangolare: infatti:
\[
\left.
\begin{split}
d(x,z) &\leq d(x,y) + d(y,z) \\
d(y,z) &\leq d(x,y) + d(x,z)
\end{split} \right\} \quad \Rightarrow \quad |d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y) \;.
\]
Il iii pure, ma devi verificare anche le altre proprietà.
Per i potresti pure usare le sole simmetria e disuguaglianza triangolare: infatti:
\[
\left.
\begin{split}
d(x,z) &\leq d(x,y) + d(y,z) \\
d(y,z) &\leq d(x,y) + d(x,z)
\end{split} \right\} \quad \Rightarrow \quad |d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y) \;.
\]
Giusto, effettivamente \(\displaystyle k=0 \) non può andar bene per il primo caso. Grazie gugo!
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