Esercizi Successioni

[keyz]

Buongiorno, sto studiando le successioni e sto provando a svolgere qualche esercizio.
Tra questi mi sono bloccato su due in particolare:

1) $ lim ((-1)^n cos(n))/(2^n) $
Di questo ho pensato che per risolverlo devo studiarmi la sottosuccessione di posto pari e quella di posto dispari.
Solo che mi blocco immediatamente nel momento in cui arrivo a: $ lim ((-1)^(2n) cos(2n))/(2^(2n) $
2) $ lim (2^n+n)^(1/n) $
Mentre questa seconda non riesco proprio a capire come muovermi.

Come mi consigliate di procedere?
Grazie Infinite.

[cooper1]

per il primo io noterei che il denominatore è un infinito di ordine maggiore del numeratore
per il secondo userei l'esponenziale: $e^(log(2^n+n)/n)$ e poi prova ad applicare le proprietà dei logaritmi

[keyz]

"cooper":per il primo io noterei che il denominatore è un infinito di ordine maggiore del numeratore
per il secondo userei l'esponenziale: $e^(log(2^n+n)/n)$ e poi prova ad applicare le proprietà dei logaritmi

Ti ringrazio! Effettivamente per quanto riguarda il primo non ci ho fatto caso ( anche perché mi sa che devo ripassare questa parte )
Per quanto riguarda il secondo quindi ho fatto cosi come hai detto tu:
$ e^{log[2^n(1+(n/(2^n))]/[(n/2^n)((2^n)/n)n]] $
In questa maniera ho potuto considerare $ e^{log[(1+(n/(2^n))]/[(n/2^n)]]=e^1 $
Giusto?
Grazie ancora

[pilloeffe]

Ciao keyz23,

"keyz23":Per quanto riguarda il secondo quindi ho fatto cosi come hai detto tu:

No, non è giusto, mi sa che hai esagerato con gli elevamenti...
Il valore del limite è semplicemente $2$. Seguendo il suggerimento di cooper:

$lim_{n \to +\infty} (2^n+n)^(1/n) = lim_{n \to +\infty} e^{log(2^n+n)/n} = lim_{n \to +\infty} e^{frac{1}{n} log[2^n(1 + n/2^n)]} = lim_{n \to +\infty} e^{frac{1}{n}[log(2^n) + log(1 + n/2^n)]} = $
$= e^{log 2} = 2$

[keyz]

Aaah ok
Ti ringrazio, sei stato veramente gentile!