Esercizi su sup e inf
Ciao a tutti, qualcuno mi puoi aiutare?
Determinare estremo superiore e inferiore dei seguenti sottoinsieme di $RR$, stabilendo se siano massimi o minimi.
$A={a_n=(xy)/(x+y)|x,y in (0,1)}$
E' corretto dire che $0
A è limitato superiormente da $1/4$, che è un maggiorante di A e $1/4 in A$ per $x=y=1/2$, quindi $1/4=$sup$A=maxA$
A è limitato inferiormente da $0$, che è un minorante di A, ma $0$ non$in A$. Ora dovrei dimostrare che è il più grande dei minoranti? Ovvero che, fissato $epsilon>0$ si ha $0+epsilon>a_n$? Ho sbagliato qualcosa? Come procedo?
Determinare estremo superiore e inferiore dei seguenti sottoinsieme di $RR$, stabilendo se siano massimi o minimi.
$A={a_n=(xy)/(x+y)|x,y in (0,1)}$
E' corretto dire che $0
A è limitato superiormente da $1/4$, che è un maggiorante di A e $1/4 in A$ per $x=y=1/2$, quindi $1/4=$sup$A=maxA$
A è limitato inferiormente da $0$, che è un minorante di A, ma $0$ non$in A$. Ora dovrei dimostrare che è il più grande dei minoranti? Ovvero che, fissato $epsilon>0$ si ha $0+epsilon>a_n$? Ho sbagliato qualcosa? Come procedo?
Risposte
Intanto la scrittura $a_n=(xy)/(x+y)$ non ha alcun senso, poi suppongo che questo problema tu lo abbia trovato preparando analisi 2, quindi dovresti avere presente il problema della ricerca dei minimi e massimi di funzioni in due variabili, ti consiglio dunque di cercare massimi e minimi della funzione $f(x,y)=(xy)/(x+y)$ sul dominio $[0,1]^2$ (è sottinteso che nell'origine la funzione vale $0$), a quel punto guardi se i massimi e minimi vengono assunti solo sul bordo o no.
Come già scritto da otta96 la scrittura $ a_n $ in questo caso è priva di significato.
Questo però non è affatto un esercizio di analisi 2, ma è piuttosto un esercizio di analisi 1 (direi pure precorsistico).Partiamo dal calcolo dell'estremo inferiore.
Si nota chiaramente che $ 0<(xy)/(x+y) $ quindi $ 0 $ è un minorante dell'insieme $ A $.
Ora affermo che $ Inf(A) =0 $ , verifichiamolo:
usiamo la caratterizzazione dell'estremo inferiore, cioè dobbiamo mostrare che preso $ epsi>0 $ esiste un elemento $ ainA $ tale che $ a<0+epsi $.
Consideriamo $ x=y $ (usiamo questa furbizia per semplificarci i conti e perchè ci basta verificare l'esistenza di un elemento nella forma suddetta). Dunque $ (x^2)/(2x)=x/2
Lascio a te ora il compito di verificare che $ Sup(A)=1/2 $
Questo però non è affatto un esercizio di analisi 2, ma è piuttosto un esercizio di analisi 1 (direi pure precorsistico).Partiamo dal calcolo dell'estremo inferiore.
Si nota chiaramente che $ 0<(xy)/(x+y) $ quindi $ 0 $ è un minorante dell'insieme $ A $.
Ora affermo che $ Inf(A) =0 $ , verifichiamolo:
usiamo la caratterizzazione dell'estremo inferiore, cioè dobbiamo mostrare che preso $ epsi>0 $ esiste un elemento $ ainA $ tale che $ a<0+epsi $.
Consideriamo $ x=y $ (usiamo questa furbizia per semplificarci i conti e perchè ci basta verificare l'esistenza di un elemento nella forma suddetta). Dunque $ (x^2)/(2x)=x/2
Lascio a te ora il compito di verificare che $ Sup(A)=1/2 $
Grazie a entrambi, soprattutto a niccoset!
"niccoset":
Lascio a te ora il compito di verificare che $ Sup(A)=1/2 $
Questo però è il punto più difficile. Il metodo che hai proposto tu non è sufficiente a dimostrare che
\[
\frac{xy}{x+y}\le \frac 1 2\]
se \( x, y\in (0, 1)\). Infatti non è ovvio che si possa considerare \(x=y\), in questo caso. Ci vuole una idea nuova. @fabry88: Se non sei riuscito a risolverlo non ti fare problemi a tornare a chiedere.
"dissonance":
[quote="niccoset"]
Lascio a te ora il compito di verificare che $ Sup(A)=1/2 $
Questo però è il punto più difficile. Il metodo che hai proposto tu non è sufficiente a dimostrare che
\[
\frac{xy}{x+y}\le \frac 1 2\]
se \( x, y\in (0, 1)\).[/quote]
Giusto, pure io ricordo che quando svolsi per la prima volta questo esercizio trovai difficoltosa la parte riguardante l'estremo superiore. Stavo aspettando un tentativo da parte di fabry88
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