Esercizi su spazi metrici
Buongiorno a tutti, sono uno studente di matematica finanziaria alle prese per la prima volta con l'analisi funzionale.
Devo svolgere il seguente esercizio ma non so neanche da dove partire.
L'esercizio è il seguente:
For $f \in C^{(1)}$ $($ $[0,2]$ $)$, put
$||f||_a=|f(2)|+\max_{t \in [0,2]}|f'(t)|$,
$||f||_b=\max_{t \in [0,2]}|f(t)|+\max_{t \in [0,2]}|f'(t)|$.
Find positive constants $H$,$K$ such that: $H||f||_a \leq ||f||_b \leq K ||f||_a$ ,$ \forall f \in C^{(1)}$$($ $[0,2]$ $)$
So dalla teoria che questa condizione finale implica l'equivalenza tra le due norme, che quindi generano la stessa topologia. Il problema è trovare un metodo per derivare H e K e nè a lezione nè sul libro ho trovato qualche riscontro. L'unica cosa a cui ho pensato è di utilizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale e sfruttare il fatto di avere una derivata all'interno della norma; però credo che il prof voglia farci usare nozioni sugli spazi metrici e quindi non saprei come procedere.
Ringrazio chiunque voglia spendere un po' del suo tempo.
Devo svolgere il seguente esercizio ma non so neanche da dove partire.
L'esercizio è il seguente:
For $f \in C^{(1)}$ $($ $[0,2]$ $)$, put
$||f||_a=|f(2)|+\max_{t \in [0,2]}|f'(t)|$,
$||f||_b=\max_{t \in [0,2]}|f(t)|+\max_{t \in [0,2]}|f'(t)|$.
Find positive constants $H$,$K$ such that: $H||f||_a \leq ||f||_b \leq K ||f||_a$ ,$ \forall f \in C^{(1)}$$($ $[0,2]$ $)$
So dalla teoria che questa condizione finale implica l'equivalenza tra le due norme, che quindi generano la stessa topologia. Il problema è trovare un metodo per derivare H e K e nè a lezione nè sul libro ho trovato qualche riscontro. L'unica cosa a cui ho pensato è di utilizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale e sfruttare il fatto di avere una derivata all'interno della norma; però credo che il prof voglia farci usare nozioni sugli spazi metrici e quindi non saprei come procedere.
Ringrazio chiunque voglia spendere un po' del suo tempo.
Risposte
"Normz":
L'unica cosa a cui ho pensato è di utilizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale e sfruttare il fatto di avere una derivata all'interno della norma
Questa è un'idea che funziona. Prova a usarla per maggiorare $\max_{t \in [0,2]}|f(t)|$ in termini di $|f(2)|$ e di $\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|$.
"coffee":
[quote="Normz"]L'unica cosa a cui ho pensato è di utilizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale e sfruttare il fatto di avere una derivata all'interno della norma
Questa è un'idea che funziona. Prova a usarla per maggiorare $\max_{t \in [0,2]}|f(t)|$ in termini di $|f(2)|$ e di $\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|$.[/quote]
Allora, credo di essere giunto alla soluzione (spero giusta).
Partiamo dalla disequazione di sinistra. Possiamo sicuramente dire che $|f(2)| \leq \max |f(t)|$; allora sommando ad entrambi i lati $\max |f'(t)|$, si ottiene:
$|f(2)|+ \max |f'(t)| \leq \max |f(t)|+ \max |f'(t)|$, dove ad esempio $H=1$.
Se fino ad ora non ho commesso sciocchezze passiamo alla seconda. In questo caso per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scrivere:
$f(2)-f(t) = \int_{t}^{2} f'(u)du$, che diviene, $f(t)=f(2)+\int_{t}^{2} f'(u)du$.
A questo punto,
\begin{align*}
||f||_b &= \max \Bigl|f(2)+\int_{t}^{2} f'(u)du \Bigl| + \max |f'(t)| \\
&\leq |f(2)|+ \int_{0}^{2} |f'(u)|du + \max |f'(t)|
\end{align*}
Utilizzando il metodo dei trapezi possiamo scrivere $\int_{0}^{2} f'(u)du = \frac{(2-0)}{2} (f'(2)+f'(0))$, e quindi tornando alla disequazione:
\begin{align*}
|f(2)|+ \int_{0}^{2} |f'(u)|du + \max |f'(t)| &\leq |f(2)|+\overbrace{|f'(0)|}^{\leq \max |f'(t)|}+\overbrace{|f'(2)|}^{\leq \max |f'(t)|}+ \max |f'(t)| \\
&\leq |f(2)|+ 3 \max |f'(t)| \leq 3\Bigl[\, \frac{1}{3} |f(2)|+ \max |f'(t)| \, \Bigl] \\
&\leq 3[\, \overbrace{|f(2)|+ \max |f'(t)|}^{=||f||_a} \,].
\end{align*}
Quindi; $||f||_b \leq 3 ||f||_a$, con $K=3$.
Non avendo le soluzioni non so se la soluzione sia giusta e se mi sia richiesto di non usare quanto fatto su spazi metrici e normati. Se questa soluzione fosse accettabile avrei un altro esercizio che mi ha creato decisamente più problemi!
Il metodo dei trapezi ti dà un'approssimazione, non è vero che vale l'uguaglianza
Piuttosto sarebbe giusto osservare che \[ \int_0^2|f'(u)|du \leq \int_0^2\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|du = 2\max_{t\in[0,2]}|f'(t)| \]
A parte questo, il resto è ok. Non vedo come avresti potuto usare teoremi generali sugli spazi metrici per risolvere questo esercizio, quindi penso proprio che la soluzione che ti viene richiesta sia qualcosa di molto simile a quello che hai scritto
"Normz":
$ \int_{0}^{2} f'(u)du = \frac{(2-0)}{2} (f'(2)+f'(0)) $
Piuttosto sarebbe giusto osservare che \[ \int_0^2|f'(u)|du \leq \int_0^2\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|du = 2\max_{t\in[0,2]}|f'(t)| \]
A parte questo, il resto è ok. Non vedo come avresti potuto usare teoremi generali sugli spazi metrici per risolvere questo esercizio, quindi penso proprio che la soluzione che ti viene richiesta sia qualcosa di molto simile a quello che hai scritto
"coffee":
Il metodo dei trapezi ti dà un'approssimazione, non è vero che vale l'uguaglianza [quote="Normz"] $ \int_{0}^{2} f'(u)du = \frac{(2-0)}{2} (f'(2)+f'(0)) $
Piuttosto sarebbe giusto osservare che \[ \int_0^2|f'(u)|du \leq \int_0^2\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|du = 2\max_{t\in[0,2]}|f'(t)| \]
A parte questo, il resto è ok. Non vedo come avresti potuto usare teoremi generali sugli spazi metrici per risolvere questo esercizio, quindi penso proprio che la soluzione che ti viene richiesta sia qualcosa di molto simile a quello che hai scritto
[/quote]Perdona il mio background economico\finanziario, ma non ho capito il passaggio che fai...
Ho usato il fatto che, per definizione, $|f'(u)|\leq\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|$ per ogni $u\in[0,2]$, quindi nell'intervallo $[0,2]$ la funzione $|f'|$ è maggiorata dalla funzione costante identicamente uguale al numero reale $C=\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|$ e perciò vale la disuguaglianza \[ \int_0^2 |f'(u)|du \leq \int_0^2 Cdu = C\int_0^2du = 2C \] essendo che \[ g(u) \leq h(u) \quad \forall u\in[a,b] \qquad \Rightarrow \qquad \int_a^b g(u)du \leq \int_a^b h(u)du \]
"coffee":
Ho usato il fatto che, per definizione, $|f'(u)|\leq\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|$ per ogni $u\in[0,2]$, quindi nell'intervallo $[0,2]$ la funzione $|f'|$ è maggiorata dalla funzione costante identicamente uguale al numero reale $C=\max_{t\in[0,2]}|f'(t)|$ e perciò vale la disuguaglianza \[ \int_0^2 |f'(u)|du \leq \int_0^2 Cdu = C\int_0^2du = 2C \] essendo che \[ g(u) \leq h(u) \quad \forall u\in[a,b] \qquad \Rightarrow \qquad \int_a^b g(u)du \leq \int_a^b h(u)du \]
Tutto chiaro, grazie mille! Posso approfittare della tua gentilezza e chiederti un parere su un altro esercizio??
Prego chiedi pure, certo!
chiedi pure, certo!
L'esercizio è il seguente:
Let $\varphi : [0, 1] → \R$ a bounded function.
a) Prove that the formula
$||f||_{\varphi} = Sup_{t \in [0,1]} |\varphi(t) \cdot f(t)|$ , $f \in C^(0) [0,1]$
provides a norm on $C^(0) [0,1]$ if and only if the null set of $\varphi$ has no interior point.
b) Assume that $||\cdot||_{\varphi}$ is a norm for some $\varphi$. Does the convergence under that norm
necessarily agree with the uniform convergence on $[0,1]$? Justify your answer.
Ho capito abbastanza bene la teoria sottostante questi argomenti, ma non abbiamo mai visto esercizi tranne questo e quello di prima (che non si risolve attraverso le nozioni sugli spazi metrici). L'unica cosa che farei è verificare le proprietà della norma per il punto a), ma non so sfruttare la condizione sul null set. Sul punto b) mi trovo impotente.
Let $\varphi : [0, 1] → \R$ a bounded function.
a) Prove that the formula
$||f||_{\varphi} = Sup_{t \in [0,1]} |\varphi(t) \cdot f(t)|$ , $f \in C^(0) [0,1]$
provides a norm on $C^(0) [0,1]$ if and only if the null set of $\varphi$ has no interior point.
b) Assume that $||\cdot||_{\varphi}$ is a norm for some $\varphi$. Does the convergence under that norm
necessarily agree with the uniform convergence on $[0,1]$? Justify your answer.
Ho capito abbastanza bene la teoria sottostante questi argomenti, ma non abbiamo mai visto esercizi tranne questo e quello di prima (che non si risolve attraverso le nozioni sugli spazi metrici). L'unica cosa che farei è verificare le proprietà della norma per il punto a), ma non so sfruttare la condizione sul null set. Sul punto b) mi trovo impotente.
L'insieme \(\displaystyle S_f = \{ x\in I : f(x) \neq 0 \} \) è un aperto per ogni \(\displaystyle f \neq 0 \in C^0(I) \). Inoltre \(\displaystyle \lVert f \rVert_{\phi} = 0\) se e solo se \(\displaystyle S_f \subseteq N_{\phi} = \{ x\in I : \phi(x) = 0 \} \). I particolari e la conclusione la lascio a te.
Per il punto b dovrei fare i calcoli, è più di un anno che non vedo queste cose.
Per il punto b dovrei fare i calcoli, è più di un anno che non vedo queste cose.
Prova a scrivere una definizione esplicita "epsilon-enne" di convergenza uniforme in $[0,1]$ e di convergenza rispetto all'eventuale norma $||\cdot||_{\varphi}$ (cioè una cosa sul modello di: $\{a_n\}\subseteq\mathbb R$ converge ad $a\in\mathbb R$ se per ogni $\epsilon>0$ esiste $N\geq 0$ tale che $|a_n-a|<\epsilon$ per ogni $n\geq 0$), così vediamo che ruolo gioca la $\varphi$ in tutto questo.
Per ipotesi esiste \(\displaystyle \exists M \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle -M \le \varphi(r)\le M \) per ogni \(\displaystyle r\in[0,1] \). Quindi \(\displaystyle \lVert f\rVert_{\varphi} \le M\lVert f\rVert_{\infty} \). Pertanto la convergenza uniforme implica quella per la norma associata a \(\displaystyle \varphi \).
Per mostrare che per alcune \(\displaystyle \varphi \) non vale l'opposto consideriamo la successione \(\displaystyle 1-x, (1-x)^2, (1-x)^3\dotsc \) in \(\displaystyle [0,1] \). Questa successione converge puntualmente alla funzione costante \(\displaystyle 0 \) in \(\displaystyle (0,1] \). E' possibile costruire una funzione \(\displaystyle \varphi \) per cui questa successione converga alla funzione costante \(\displaystyle 0 \) nella norma associata a \(\displaystyle \varphi \). Quindi questa convergenza non implica neanche quella puntuale.
Per esempio penso che la funzione \[\varphi(r) = \begin{cases} 0 & \text{per } r = 0 \\ e^{-r^{-1}} & \text{altrimenti} \end{cases}\] possieda questa caratteristica. Ma nella dimostrazione immagino sia più comodo costruire una funzione a gradini. Infatti penso basti che per \(\displaystyle r < 2^{-n} \) si abbia \(\displaystyle \varphi(r) < 2^{-n} \). Non ho scritto per bene tutti i passaggi quindi potrei sbagliarmi. Prova a scriverli tu.
Per mostrare che per alcune \(\displaystyle \varphi \) non vale l'opposto consideriamo la successione \(\displaystyle 1-x, (1-x)^2, (1-x)^3\dotsc \) in \(\displaystyle [0,1] \). Questa successione converge puntualmente alla funzione costante \(\displaystyle 0 \) in \(\displaystyle (0,1] \). E' possibile costruire una funzione \(\displaystyle \varphi \) per cui questa successione converga alla funzione costante \(\displaystyle 0 \) nella norma associata a \(\displaystyle \varphi \). Quindi questa convergenza non implica neanche quella puntuale.
Per esempio penso che la funzione \[\varphi(r) = \begin{cases} 0 & \text{per } r = 0 \\ e^{-r^{-1}} & \text{altrimenti} \end{cases}\] possieda questa caratteristica. Ma nella dimostrazione immagino sia più comodo costruire una funzione a gradini. Infatti penso basti che per \(\displaystyle r < 2^{-n} \) si abbia \(\displaystyle \varphi(r) < 2^{-n} \). Non ho scritto per bene tutti i passaggi quindi potrei sbagliarmi. Prova a scriverli tu.
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