Esercizi su spazi $L^p$
Sto riscontrando un pò di difficoltà nel verificare che una funzione appartiene allo spazio $L^oo$...difficoltà che derivano da qualche confusione negli appunti dati dal prof e da mancanza di esercizi in classe su questo argomento, nel senso che abbiamo affrontato bene il caso dell'appartenenza di una funzione agli spazi $L^1$ e $L^2$, ma riscontravamo difficoltà nel dimostrare che appartenesse a $L^oo$. Vorrei capire un pò il ragionamento...
Sia $u_(\lambda)(x)=(sqrt(k))^(-\lambda+2) , x in [k,k+1)$, determinare per quali $\lambda in RR , u_(\lambda) in L^oo(1,+oo)$.
Svolgimento:
In un esercizio tipo che ho sugli appunti l'unica cosa che ho capito è che bisogna studiare tre casi, a seconda del valore che può assumere $-\lambda+2$. Sono riuscito a capire qualcosa per ora solo per il seguente:
$-\lambda+2=0 => \lambda=2 => u_(\lambda)(x)=1$ e poi?!
Grazie anticipatamente!
Sia $u_(\lambda)(x)=(sqrt(k))^(-\lambda+2) , x in [k,k+1)$, determinare per quali $\lambda in RR , u_(\lambda) in L^oo(1,+oo)$.
Svolgimento:
In un esercizio tipo che ho sugli appunti l'unica cosa che ho capito è che bisogna studiare tre casi, a seconda del valore che può assumere $-\lambda+2$. Sono riuscito a capire qualcosa per ora solo per il seguente:
$-\lambda+2=0 => \lambda=2 => u_(\lambda)(x)=1$ e poi?!
Grazie anticipatamente!
Risposte
Forse ho fatto un passo avanti...
Stiamo studiando il caso in cui $u_(\lambda) in L^oo(1,+oo)$. Inizio dal primo caso:
1)$-\lambda+2=0 => \lambda=2$.
Ora ricordando chi è lo spazio $L^oo$, devo trovare l'estremo superiore essenziale e vedere se ess sup $|f|<+oo$, se la risposta è positiva allora $u_(\lambda) in L^oo$...giusto!?
Nel nostro caso da $\lambda=2 => u_2(x)=1$ ed essendo $u_(\lambda)$ continua allora ess sup coincide con il estremo superiore che in questo caso è proprio il massimo che è $1<+oo$ quindi posso concludere che per $\lambda=2 , u_(\lambda) in L^oo$.
Va bene!?
Stiamo studiando il caso in cui $u_(\lambda) in L^oo(1,+oo)$. Inizio dal primo caso:
1)$-\lambda+2=0 => \lambda=2$.
Ora ricordando chi è lo spazio $L^oo$, devo trovare l'estremo superiore essenziale e vedere se ess sup $|f|<+oo$, se la risposta è positiva allora $u_(\lambda) in L^oo$...giusto!?
Nel nostro caso da $\lambda=2 => u_2(x)=1$ ed essendo $u_(\lambda)$ continua allora ess sup coincide con il estremo superiore che in questo caso è proprio il massimo che è $1<+oo$ quindi posso concludere che per $\lambda=2 , u_(\lambda) in L^oo$.
Va bene!?
Scusa Lorin, ma per $L^\infty((1,+\infty)$ intendi le funzioni per cui la norma infinito è finita, giusto? Cioè $f\in L^\infty((1,+\infty)$ se e solo se [tex]$||f||_\infty=\mathrm{sup}_{x\in(1,+\infty)}|f(x)|<\infty$[/tex]? E dove sta la difficoltà? Basta studiare un po' la funzione e vedere in quali casi essa ammette massimo (o estremo superiore) su quell'insieme per i vari $\lambda$.
Eh...
solo che sto trovando un pò di difficoltà più che altro quando guardo gli appunti, cioè la prof quando discute il caso dell'appartenenza di una funzione a $L^oo$ fa un pò di confusione con il sup essenziale, cioè come ti posso far capire...trae delle conclusioni che per me non sono chiare e mettermele a spiegare qui ci vorrebbe una vita. Per questo ho aperto il topic, per capire un attimo se il modo in cui ragionavo andasse bene. Dalle tue poche parole sembra di si, anzi sembra tutto molto più semplice. Quindi per quanto riguarda il primo caso va bene!?
Provo a postarti anche il secondo caso:
2) $-\lambda+2>0 => lim_(k->+oo) u_(\lambda)=+oo$, quindi in questo caso non dovrebbe appartenere...
solo che sto trovando un pò di difficoltà più che altro quando guardo gli appunti, cioè la prof quando discute il caso dell'appartenenza di una funzione a $L^oo$ fa un pò di confusione con il sup essenziale, cioè come ti posso far capire...trae delle conclusioni che per me non sono chiare e mettermele a spiegare qui ci vorrebbe una vita. Per questo ho aperto il topic, per capire un attimo se il modo in cui ragionavo andasse bene. Dalle tue poche parole sembra di si, anzi sembra tutto molto più semplice. Quindi per quanto riguarda il primo caso va bene!?
Provo a postarti anche il secondo caso:
2) $-\lambda+2>0 => lim_(k->+oo) u_(\lambda)=+oo$, quindi in questo caso non dovrebbe appartenere...
Scusa Lorin, ora che guardo meglio... ma la funzione com'è definita? Perché se devo essere sincero non mi è proprio chiaro. Cos'è, una sorta di funzione a gradino?
Ti riporto il testo:
Per $\lambda in RR$ sia $u_(\lambda)$ la funzione definita in $(1,+oo)$ da:
$u_(\lambda)(x)=(sqrt(k))^(-\lambda+2), x in [k,k+1) , k=1,2,....$
si dovrebbe essere una sorta di funzione a gradino.
Per $\lambda in RR$ sia $u_(\lambda)$ la funzione definita in $(1,+oo)$ da:
$u_(\lambda)(x)=(sqrt(k))^(-\lambda+2), x in [k,k+1) , k=1,2,....$
si dovrebbe essere una sorta di funzione a gradino.
Quindi è costante sugli intervallini. Per cui se $\lambda<2$ allora al crescere di $k$ cresce anche il valore della costante e puoi concludere che il suo sup è $+\infty$. Se $\lambda=-2$ allora la funzione è costante pari ad $1$ e quindi va bene, mentre se $\lambda>2$ allora al crescere di $k$ i valori tendono a zero, e quindi è immediato dimostrare che $u_\lambda(x)\le 1$ (che è il valore per $k=1$). Sei d'accordo?
Si io così mi trovavo e volevo sapere se avevo "interpretato bene" gli appunti e la teoria che stavo studiando.
Una cosa però non mi torna...perchè la professoressa nell'esempio pratico si sofferma sul dimostrare che l'insieme per cui $|u_(\lambda)|>t$ con t sup essenziale ha misura nulla? E' una cosa in più?
Una cosa però non mi torna...perchè la professoressa nell'esempio pratico si sofferma sul dimostrare che l'insieme per cui $|u_(\lambda)|>t$ con t sup essenziale ha misura nulla? E' una cosa in più?
In raeltà no. Il fatto è che lei usa questa definizione (credo): http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_Lp#Caso_infinito per cui devi tenere conto del quasi-ovunque. Sinceramente, in questi casi semplici, a me sembra superfluo... ma io sono un geometra, non un analista, e mi sa che oggi mi prendo un insulto da Fioravante se legge sta cosa! 
Comunque dimostrare quel fatto è abbastanza intuitivo, se provi a lavorare con la disequazione che ne viene fuori.
Comunque dimostrare quel fatto è abbastanza intuitivo, se provi a lavorare con la disequazione che ne viene fuori.
Quindi mi conviene specificarlo!?
Vorrei comunque provare a farlo anche io, in modo che da non avere problemi nel caso.
Siamo nel caso $\lambda>2 => lim_(k->+oo)u_(\lambda)=0$ e il massimo si assume per $k=1$, cioè $u_(\lambda)<=1$, che è il mio sup essenziale. Ora se indico con $A={x in (1,+oo) : u_(\lambda)>1}$ devo far vedere che $m(A)=0$. Posso ragionare sul fatto che non esistono $x$ per cui $u_(\lambda)>1$ quindi $A=\emptyset => m(\emptyset)=0$
Vorrei comunque provare a farlo anche io, in modo che da non avere problemi nel caso.
Siamo nel caso $\lambda>2 => lim_(k->+oo)u_(\lambda)=0$ e il massimo si assume per $k=1$, cioè $u_(\lambda)<=1$, che è il mio sup essenziale. Ora se indico con $A={x in (1,+oo) : u_(\lambda)>1}$ devo far vedere che $m(A)=0$. Posso ragionare sul fatto che non esistono $x$ per cui $u_(\lambda)>1$ quindi $A=\emptyset => m(\emptyset)=0$
Sì. Quella disequazione porterebbe a prendere $k<1$ in questo caso, cosa che non puoi fare a causa dello spazio su cui ti stai muovendo.
Ti ringrazio tanto per l'aiuto. Adesso ne risolvo un altro e magari posto solo il finale e vediamo se va bene...così mi tolgo un altro pensiero dalla testa ^^
Una curiosità, da ignorante quale sono, che nasce dalla lettura del post di Ciampax (scusami, sono il solito rompiballe! ).
In pratica, se ho capito bene (leggendo anche la pagina di wiki linkata), $L^\infty$ è lo spazio delle funzioni limitate q.o., giusto? Per esprimere questo fatto in maniera rigorosa, uno introduce l'estremo superiore essenziale e l'estremo inferiore essenziale su un insieme misurabile $M \subset RR^{n}$ e dice che una funzione $f in \mathcal{L}^{\infty}(M)$ se e solo se $"inf ess"f < -infty$ e $"sup ess" f < +infty$ (gli estremi calcolati su $M$, si intende): dico bene?
Poi si passa al quoziente nel solito modo et voilà, salta fuori proprio $L^{infty}$.
Qualcuno ha voglia di raccontare qualcosa in più su questo bell'argomento? In che modo, ad esempio, si può vedere $L^{infty}$ come "limite" degli $L^p$, per $p to infty$?
Personalmente, trovo questi argomenti molto affascinanti: un qualsiasi riferimento bibliografico sull'argomento è più che gradito.
Grazie.
)."ciampax":
In realtà no. Il fatto è che lei usa questa definizione (credo): http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_Lp#Caso_infinito per cui devi tenere conto del quasi-ovunque. Sinceramente, in questi casi semplici, a me sembra superfluo... ma io sono un geometra, non un analista, e mi sa che oggi mi prendo un insulto da Fioravante se legge sta cosa!
Comunque dimostrare quel fatto è abbastanza intuitivo, se provi a lavorare con la disequazione che ne viene fuori.
In pratica, se ho capito bene (leggendo anche la pagina di wiki linkata), $L^\infty$ è lo spazio delle funzioni limitate q.o., giusto? Per esprimere questo fatto in maniera rigorosa, uno introduce l'estremo superiore essenziale e l'estremo inferiore essenziale su un insieme misurabile $M \subset RR^{n}$ e dice che una funzione $f in \mathcal{L}^{\infty}(M)$ se e solo se $"inf ess"f < -infty$ e $"sup ess" f < +infty$ (gli estremi calcolati su $M$, si intende): dico bene?
Poi si passa al quoziente nel solito modo et voilà, salta fuori proprio $L^{infty}$.
Qualcuno ha voglia di raccontare qualcosa in più su questo bell'argomento? In che modo, ad esempio, si può vedere $L^{infty}$ come "limite" degli $L^p$, per $p to infty$?
Personalmente, trovo questi argomenti molto affascinanti: un qualsiasi riferimento bibliografico sull'argomento è più che gradito.
Grazie.
Rudin, "Functional Analysis", ora e per sempre!
E se ti sembra troppo complicato, su quel libro ci sono miliardi di riferimenti! (un altro valido è il Brezis, che se non sbaglio si intitola sempre "Analisi Funzionale").
E se ti sembra troppo complicato, su quel libro ci sono miliardi di riferimenti! (un altro valido è il Brezis, che se non sbaglio si intitola sempre "Analisi Funzionale").
Concordo!
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