Esercizi su Serie numeriche....

[kioccolatino90]

buona sera a tutti ho un esempio di serie con il criterio del rapporto: $sum_{n=1}^(+oo) ((n!)^2)/((n+1)!)$ ma non ho capito il primo passo che fa....

scrive la somma come il limite per $n$ che tende ad infinito: $lim_(n->+oo)([(n+1)!]^2)/((n+2)!)*((n+1)!)/(n!)^2$; non capisco perchè ha fatto queste trasformazioni e come ha ragionato?

[Gi81]

Hai $a_n=((n!)^2)/((n+1)!)$.
Quello che ha scritto è $lim_(n->+oo) a_(n+1)/a_n$

[kioccolatino90]

e perchè ha ritenuto utile fare così? cioè i passaggi si semplificano? a me sembra molto più complesso così.....

[Giuly191]

Infatti è uno degli esempi più stupidi che qualcuno potesse inventarsi.. Comunque in altri casi è molto utile il criterio del rapporto! Prova a cercare qualche altro esercizio e te ne accorgerai!
Però che i passaggi si semplificano non è un motivo per dire che sia inutile, anzi! In ogni caso se non l'avesse usato avrebbe potuto semplificare $ (n!*n!)/((n+1)!) = (n!)/(n+1) $, che secondo me non necessita di nessun criterio per dire che tende a infinito e quindi non converge la serie. Ma c'è chi vuole essere sicuro!

[kioccolatino90]

"Giuly19":
[...]In ogni caso se non l'avesse usato avrebbe potuto semplificare $ (n!*n!)/((n+1)!) = (n!)/(n+1) $ [...]

giusto perchè $(n!)^2= n!*n!$ e $(n+1)!$ lo posso vedere come $n!(n+1)$ però come fai a dire che va ad infinito non è una forma indeterminata $oo/oo$???

[Giuly191]

Sì ma basta sapere giusto due cose sulla gerarchia degli infiniti! Comunque visto che lo vedi come una forma di indecisione prova ad applicare il criterio del rapporto a quella successione!

[kioccolatino90]

ok verrebbe, $lim_(n->+oo)((n+1)!)/(n+2)*((n+1)!)/(n!)=((n+1)(n+1))/(n+2)=(n+1)^2/(n+2)=(n^2+2n+1)/(n+2)=(n^2)/(n)=n=+oo$ divergente positivamente......giusto?

[Giuly191]

Giusto! A parte un punto esclamativo di troppo al primo membro della prima uguaglianza, ma penso ti sia scappato perchè non sembra tu lo abbia considerato dopo!

[kioccolatino90]

Ma senza applicare il crititerio del rapporto come hai fatto a dire che era convergente positivamente cioè $n!$ è di ordine due rispetto a $n$?

[Giuly191]

Non so dirti di che ordine sia perchè non sono abituato a mettere i numeri, in ogni caso ti basta sapere quale dei due infiniti comanda sull'altro. Te ne cito qualcuno, ma dovresti trovare questa cosa su qualsiasi libro di testo. $ logn << n << e^n << n! << n^n $

[kioccolatino90]

ok ho capito....poi ho quest'altra successione $sum_{n=1}^(+oo) ((n!)^2)/(2n!)$, che io ho cercato di risolverlo con il criterio del rapporto:

$lim_(n->+oo)[(n+1)!]^2/((2n+1)!)*(2n!)/((n!)^2)=$$lim_(n->+oo)[(n+1)!]^2/((2n+1)!)*(2n!)/((n!)^2)=$$lim_(n->+oo)[((n+1)!)/(n!)]^2*(2n!)/((2n+1)!)=$$lim_(n->+oo)((n+1)^2*2n!)/((2n+1)!)$

ora dato che $(n+1)!$$=n!(n+1)$ posso scrivere $(2n+1)!$ come $2n!(2n+1)$ quindi:

$lim_(n->+oo)((n+1)^2*2n!)/((2n+1)!)$ diventa $lim_(n->+oo)((n+1)^2*2n!)/(2n!(2n+1))=$ $lim_(n->+oo)((n+1)^2)/(2n+1)= $$lim_(n->+oo)(n^2+2n+1)/(2n+1)$ per cui la serie è divergente positivamente, anche se mi aspettavo convergente.... ho fatto bene?