Esercizi su serie e criterio di liebniz
Ciao a tutti volevo chiedervi qualche consiglio su questi esercizi in cui mi viene chiesto di stabilire
il carattere delle seguenti serie:
$\sum_{n=n_0}^(+infty) (-1)^n/(3n +(-1)^(n)*n)$
$\sum_{n=n_0}^(+infty) (-1)^n/(n -root(n)(n))$
per quanto riguarda il secondo ho pensato che la scelta migliore fosse applicare il criterio di liebniz
avendo $\sum_{n=n_0}^(+infty) (-1)^n a_n $ con $a_n$ che soddisfa le condizioni del criterio difatti
ho che $1/(n -root(n)(n)) = a_n$ risulta asintotica a $1/n$ il problema è nel vedere se $a_n$ soddisfa le condizioni
del criterio posso considerare $1/n$ al posto di $1/(n -root(n)(n)) = a_n$ ?
per quanto riguarda il primo invece non riesco ad applicare il criterio poichè $1/(3n +(-1)^(n)*n)$ non soddisfa
una delle condizioni del criterio
il carattere delle seguenti serie:
$\sum_{n=n_0}^(+infty) (-1)^n/(3n +(-1)^(n)*n)$
$\sum_{n=n_0}^(+infty) (-1)^n/(n -root(n)(n))$
per quanto riguarda il secondo ho pensato che la scelta migliore fosse applicare il criterio di liebniz
avendo $\sum_{n=n_0}^(+infty) (-1)^n a_n $ con $a_n$ che soddisfa le condizioni del criterio difatti
ho che $1/(n -root(n)(n)) = a_n$ risulta asintotica a $1/n$ il problema è nel vedere se $a_n$ soddisfa le condizioni
del criterio posso considerare $1/n$ al posto di $1/(n -root(n)(n)) = a_n$ ?
per quanto riguarda il primo invece non riesco ad applicare il criterio poichè $1/(3n +(-1)^(n)*n)$ non soddisfa
una delle condizioni del criterio
Risposte
Per la seconda: non puoi considerare $\frac{1}{n}$ al posto di $a_n$. Puoi utilizzare l'asintotica equivalenza per dire che $a_n \to 0$, ma questo non è sufficiente a dire che $a_n$ è decrescente.
Comunque, puoi verificare che $a_n$ è decrescente, utilizzando la funzione associata e derivando. Basta mostrare che $f(x)= x - x^{\frac{1}{x}}$ è definitivamente crescente.
Comunque, puoi verificare che $a_n$ è decrescente, utilizzando la funzione associata e derivando. Basta mostrare che $f(x)= x - x^{\frac{1}{x}}$ è definitivamente crescente.
Ciao grazie mille per la risposta per verificare la non crescenza di $a_n$ ora ci provo
per la prima invece hai qualche idea?
per la prima invece hai qualche idea?
Potresti provare considerando che $\frac{1}{4n} \leq \frac{1}{3n + (-1)^n n} \leq \frac{1}{2n}$.
Edit: Mi sa che quello che ho scritto su non porta da nessuna parte. Prova invece a riscrivere la somma di due termini successivi, prima $a_{2k-1}+a_{2k}$ e poi $a_{2k}+a_{2k+1}$. Osserva che, se chiamo $b_k$ e $c_k$ rispettivamente queste due successioni, ottengo che:
$$\sum_{k=1}^n b_k = s_{2n}$$
$$\sum_{k=1}^n c_k = s_{2n+1}$$
dove $s_n$ è la successione delle somme parziali della serie originaria (in realtà quelle relazioni valgono a meno di $a_0$ e/o $a_1$ ma non cambia niente).
Se ho fatto bene i conti queste due serie (entrambi a termini di segno costante) divergono una a $- \infty$ e l'altra $+\infty$. Rincontrolla bene tutto, fai le dovute deduzioni e fammi sapere
Edit: Mi sa che quello che ho scritto su non porta da nessuna parte. Prova invece a riscrivere la somma di due termini successivi, prima $a_{2k-1}+a_{2k}$ e poi $a_{2k}+a_{2k+1}$. Osserva che, se chiamo $b_k$ e $c_k$ rispettivamente queste due successioni, ottengo che:
$$\sum_{k=1}^n b_k = s_{2n}$$
$$\sum_{k=1}^n c_k = s_{2n+1}$$
dove $s_n$ è la successione delle somme parziali della serie originaria (in realtà quelle relazioni valgono a meno di $a_0$ e/o $a_1$ ma non cambia niente).
Se ho fatto bene i conti queste due serie (entrambi a termini di segno costante) divergono una a $- \infty$ e l'altra $+\infty$. Rincontrolla bene tutto, fai le dovute deduzioni e fammi sapere
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