Esercizi su proprietà locali nei compatti
Salve ragazzi, vi propongo questi due esercizi asteriscati. Mi sfugge la chiave della dimostrazione, ovvero il fatto più volte richiamato dal prof che sui compatti, con opportune ipotesi, si estendono proprietà locali a proprietà globali. 
$1.$ Sia \( f:\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} \) tale che ogni punto di \(\mathbb{R}^n\) abbia un intorno in cui $f$ è lipschitziana. Ragionando per assurdo e usando il teorema (di compattezza per successioni dei chiusi e limitati) dimostrare che, se \( K\subset \mathbb{R} ^n\) è chiuso e limitato allora $f$ è lipschitziana in \( K \).
$2.$ Sia \( f:\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} \) tale che ogni punto di \(\mathbb{R}^n\) abbia un intorno in cui $f$ è limitata. Usando il teorema di Heine-Borel dimostrare che se $K\subset\mathbb{R}^n$ è chiuso e limitato allora $f$ è limitata in $K$.
$1.$ Sia \( f:\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} \) tale che ogni punto di \(\mathbb{R}^n\) abbia un intorno in cui $f$ è lipschitziana. Ragionando per assurdo e usando il teorema (di compattezza per successioni dei chiusi e limitati) dimostrare che, se \( K\subset \mathbb{R} ^n\) è chiuso e limitato allora $f$ è lipschitziana in \( K \).
$2.$ Sia \( f:\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} \) tale che ogni punto di \(\mathbb{R}^n\) abbia un intorno in cui $f$ è limitata. Usando il teorema di Heine-Borel dimostrare che se $K\subset\mathbb{R}^n$ è chiuso e limitato allora $f$ è limitata in $K$.
Risposte
Per il 2. ragionerei con i ricoprimenti: un chiuso e limitato di \( \mathbb{R}^n\) è anche un compatto nel senso dei ricoprimenti (compattezza e compattezza sequenziale sono nozioni coincidenti negli spazi metrici). Ora, una funzione \(f: K\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) è localmente limitata (lo è su tutto \(\mathbb{R}^n\), ed in particolare lo sarà su \(K\)) se \(\forall x_0 \in K \) esistono un intorno \(U_{x_0} \) ed una costante \(M_{x_0} > 0 \) t.c. \(|f(x) | < M_{x_0} \ \forall x \in U_{x_0}\); certamente \( K \subseteq \bigcup_{x \in K} U_x \), ed estraendo un sottoricoprimento finito... ti lascio concludere.
Per l'1. si sarà da fare qualche tramaccio simile (prova a dare un'occhiata alla dimostrazione del teorema di Heine-Cantor).
Per l'1. si sarà da fare qualche tramaccio simile (prova a dare un'occhiata alla dimostrazione del teorema di Heine-Cantor).
basta prendere quindi il \( \sup \{ f(x): x \in \bigcup_{x \in K} U_x\} \)..... Ma per il primo?! 
Pure il primo puoi farlo come dice Delirium, prendi un compatto \(K\) e ricoprilo di un numero finito di palline su cui la funzione è Lipschitziana. Aiutandoti con un disegno, trova una costante abbastanza grande da andar bene come costante di Lipschitz su tutto \(K\).
Sospetto che questo non sia lo svolgimento che il prof aveva in mente, però, visto che suggerisce di procedere per assurdo.
Sospetto che questo non sia lo svolgimento che il prof aveva in mente, però, visto che suggerisce di procedere per assurdo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo