Esercizi su Problemi di Sturm-Liouville

stenda1
Ciao a tutti, mi sto attualmente preparando per (l'ultimo) esame di Complementi di Analisi Matematica, e in particolare sto trovando un pò di difficoltà con i problemi di Sturm Liouville.

La prima cosa che non ho capito bene è cosa devo fare quando il parametro lambda non appare esplicitamente nella formulazione del problema. Per esempio vi riporto questo esercizio che è stato dato in sede di appello:

http://www.dii.unisi.it/~papini/vecchi_appelli/MMIB09prova2.pdf (è l'ultimo esercizio)[/url]

Si vede in entrambi i problemi a) e b) che il parametro λ (l'autovalore per intendersi) non compare, e in particolare nell'equazione di secondo grado non compare il termine di grado 0, cioè il termine con la y. Quello che mi domando è:

in questo caso devo aggiungere un termine all'equazione il termine λ*q(x)*y , dove q(x) è la funzione peso, e poi proseguire trovando come di consueto gli autovalori?

Un'altro esercizio su cui avevo bisogno di aiuto è il seguente:

Determinare autovalori e autofunzioni del seguente di problema di SL omogeneo:

$(x^2 y')' + (l/x^2)y = 0 $ dove l è il parametro λ

Suggerimento: porre y(x) = z(1/x)

Sono partito quindi seguendo il suggerimento, in particolare con quella sostituzione di variabile si ha che:

$y(x)' = (-1/x^2)z'$

e quindi il problema diventa, se non ho interpretato male:

$ -z'' + (l/x^2)z = 0$

Ecco, da qui in poi non riesco ad andare avanti, cioè a trovare gli autovalori e autofunzioni.

In ogni caso la soluzione di questo esercizio(fornita senza "spiegazione" dal prof) è: autovalori = (npi)^2 con autofunzioni $yn(x) = A sen((npi)/x)$ dove pi è il pigreco

Grazie a tutti per la vostra pazienza! :)

Risposte
Rigel1
Mi sembra che l'equazione per $z$ sia $z'' + \lambda z = 0$.

stenda1
Grazie.

Non riesco a capire però come mai, in seguito a quella sostituzione, si riesca a semplificare il termine (1/x^2) che moltiplica il parametro λ.

Rigel1
Prova a scrivere tutto come
$[x^2 (z(1/x))']' + \frac{\lambda}{x^2}\cdot z(1/x) = 0$.
Dopo la prima derivazione (quella interna) ottieni
$[-z'(1/x)]' + \frac{\lambda}{x^2}\cdot z(1/x) = 0$.
Adesso devi fare la seconda derivazione.

stenda1
Accidenti..era facilissimo! sarà per colpa dell'influenza che mi sta costringendo a letto da diversi giorni :)

Ti ringrazio comunque per la delucidazione :)

Per quanto riguarda l'altro mio quesito (il primo nel post) mi sapresti aiutare?

Grazie ancora!

Rigel1
Per la prima domanda, basta risolvere direttamente le equazioni differenziali e vedere se ci sono soluzioni.
Ad es., da $((x^2+1)y')' = 2x$, $x\in [0,1]$, ricavi che $(x^2+1)y' = x^2 + c$.
Se $y'(0) = 0$, il primo membro è nullo per $x=0$, dunque ottieni $c=0$.
Se anche $y'(1) = 0$, il primo membro è nullo per $x=1$, dunque ottieni $c=-1$, che è incompatibile con quanto ottenuto sopra.

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