Esercizi su Problemi di Sturm-Liouville
Ciao a tutti, mi sto attualmente preparando per (l'ultimo) esame di Complementi di Analisi Matematica, e in particolare sto trovando un pò di difficoltà con i problemi di Sturm Liouville.
La prima cosa che non ho capito bene è cosa devo fare quando il parametro lambda non appare esplicitamente nella formulazione del problema. Per esempio vi riporto questo esercizio che è stato dato in sede di appello:
http://www.dii.unisi.it/~papini/vecchi_appelli/MMIB09prova2.pdf (è l'ultimo esercizio)[/url]
Si vede in entrambi i problemi a) e b) che il parametro λ (l'autovalore per intendersi) non compare, e in particolare nell'equazione di secondo grado non compare il termine di grado 0, cioè il termine con la y. Quello che mi domando è:
in questo caso devo aggiungere un termine all'equazione il termine λ*q(x)*y , dove q(x) è la funzione peso, e poi proseguire trovando come di consueto gli autovalori?
Un'altro esercizio su cui avevo bisogno di aiuto è il seguente:
Determinare autovalori e autofunzioni del seguente di problema di SL omogeneo:
$(x^2 y')' + (l/x^2)y = 0 $ dove l è il parametro λ
Suggerimento: porre y(x) = z(1/x)
Sono partito quindi seguendo il suggerimento, in particolare con quella sostituzione di variabile si ha che:
$y(x)' = (-1/x^2)z'$
e quindi il problema diventa, se non ho interpretato male:
$ -z'' + (l/x^2)z = 0$
Ecco, da qui in poi non riesco ad andare avanti, cioè a trovare gli autovalori e autofunzioni.
In ogni caso la soluzione di questo esercizio(fornita senza "spiegazione" dal prof) è: autovalori = (npi)^2 con autofunzioni $yn(x) = A sen((npi)/x)$ dove pi è il pigreco
Grazie a tutti per la vostra pazienza!
La prima cosa che non ho capito bene è cosa devo fare quando il parametro lambda non appare esplicitamente nella formulazione del problema. Per esempio vi riporto questo esercizio che è stato dato in sede di appello:
http://www.dii.unisi.it/~papini/vecchi_appelli/MMIB09prova2.pdf (è l'ultimo esercizio)[/url]
Si vede in entrambi i problemi a) e b) che il parametro λ (l'autovalore per intendersi) non compare, e in particolare nell'equazione di secondo grado non compare il termine di grado 0, cioè il termine con la y. Quello che mi domando è:
in questo caso devo aggiungere un termine all'equazione il termine λ*q(x)*y , dove q(x) è la funzione peso, e poi proseguire trovando come di consueto gli autovalori?
Un'altro esercizio su cui avevo bisogno di aiuto è il seguente:
Determinare autovalori e autofunzioni del seguente di problema di SL omogeneo:
$(x^2 y')' + (l/x^2)y = 0 $ dove l è il parametro λ
Suggerimento: porre y(x) = z(1/x)
Sono partito quindi seguendo il suggerimento, in particolare con quella sostituzione di variabile si ha che:
$y(x)' = (-1/x^2)z'$
e quindi il problema diventa, se non ho interpretato male:
$ -z'' + (l/x^2)z = 0$
Ecco, da qui in poi non riesco ad andare avanti, cioè a trovare gli autovalori e autofunzioni.
In ogni caso la soluzione di questo esercizio(fornita senza "spiegazione" dal prof) è: autovalori = (npi)^2 con autofunzioni $yn(x) = A sen((npi)/x)$ dove pi è il pigreco
Grazie a tutti per la vostra pazienza!
Risposte
Mi sembra che l'equazione per $z$ sia $z'' + \lambda z = 0$.
Grazie.
Non riesco a capire però come mai, in seguito a quella sostituzione, si riesca a semplificare il termine (1/x^2) che moltiplica il parametro λ.
Non riesco a capire però come mai, in seguito a quella sostituzione, si riesca a semplificare il termine (1/x^2) che moltiplica il parametro λ.
Prova a scrivere tutto come
$[x^2 (z(1/x))']' + \frac{\lambda}{x^2}\cdot z(1/x) = 0$.
Dopo la prima derivazione (quella interna) ottieni
$[-z'(1/x)]' + \frac{\lambda}{x^2}\cdot z(1/x) = 0$.
Adesso devi fare la seconda derivazione.
$[x^2 (z(1/x))']' + \frac{\lambda}{x^2}\cdot z(1/x) = 0$.
Dopo la prima derivazione (quella interna) ottieni
$[-z'(1/x)]' + \frac{\lambda}{x^2}\cdot z(1/x) = 0$.
Adesso devi fare la seconda derivazione.
Accidenti..era facilissimo! sarà per colpa dell'influenza che mi sta costringendo a letto da diversi giorni
Ti ringrazio comunque per la delucidazione
Per quanto riguarda l'altro mio quesito (il primo nel post) mi sapresti aiutare?
Grazie ancora!
Ti ringrazio comunque per la delucidazione
Per quanto riguarda l'altro mio quesito (il primo nel post) mi sapresti aiutare?
Grazie ancora!
Per la prima domanda, basta risolvere direttamente le equazioni differenziali e vedere se ci sono soluzioni.
Ad es., da $((x^2+1)y')' = 2x$, $x\in [0,1]$, ricavi che $(x^2+1)y' = x^2 + c$.
Se $y'(0) = 0$, il primo membro è nullo per $x=0$, dunque ottieni $c=0$.
Se anche $y'(1) = 0$, il primo membro è nullo per $x=1$, dunque ottieni $c=-1$, che è incompatibile con quanto ottenuto sopra.
Ad es., da $((x^2+1)y')' = 2x$, $x\in [0,1]$, ricavi che $(x^2+1)y' = x^2 + c$.
Se $y'(0) = 0$, il primo membro è nullo per $x=0$, dunque ottieni $c=0$.
Se anche $y'(1) = 0$, il primo membro è nullo per $x=1$, dunque ottieni $c=-1$, che è incompatibile con quanto ottenuto sopra.
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