Esercizi su principio di induzione
Salve a tutti mi servirebbe un aiutino con le seguenti dimostrazioni utilizzando il principio di induzione.. A me vengono mi sembra abbastanza sensate ma vorrei averne conferma.
$ (1-x^(K+1))/(1-x $
Io l'ho dimostrata per n+1 e mi veniva $ (1-x^(n+2))/(1-x $
Poi l'ho scomposta in $ (1-x^(n))/(1-x)(1-x)^2/(1-x) $
Alla fine semplifico (1-x)^2 con il denominatore e mi viene $ (1-x)^n $
La seconsa invece è $ 2^n>= n+1 $
Grazie per l'aiuto
$ (1-x^(K+1))/(1-x $
Io l'ho dimostrata per n+1 e mi veniva $ (1-x^(n+2))/(1-x $
Poi l'ho scomposta in $ (1-x^(n))/(1-x)(1-x)^2/(1-x) $
Alla fine semplifico (1-x)^2 con il denominatore e mi viene $ (1-x)^n $
La seconsa invece è $ 2^n>= n+1 $
Grazie per l'aiuto
Risposte
Nella prima non ho ben capito cosa vuoi dimostrare...per la seconda:
$2^n>=n+1$
Base di induzione: $n=0 -> 2^0>=0+1 -> 1>=1 ->$ vero
Poniamolo vero per un certo $n$ e dimostriamo che è vero anche per $n+1$
$2^(n+1)>=n+1+1$
$2*2^n>=n+2$
Ma poiché abbiamo supposto la disuguaglianza iniziale vera per $n$ avremo che
$2*2^n>=2(n+1)$
Ma $2(n+1)=2n+2>=n+2$ da cui segue per transitività
$2^(n+1)>=n+2$
$2^n>=n+1$
Base di induzione: $n=0 -> 2^0>=0+1 -> 1>=1 ->$ vero
Poniamolo vero per un certo $n$ e dimostriamo che è vero anche per $n+1$
$2^(n+1)>=n+1+1$
$2*2^n>=n+2$
Ma poiché abbiamo supposto la disuguaglianza iniziale vera per $n$ avremo che
$2*2^n>=2(n+1)$
Ma $2(n+1)=2n+2>=n+2$ da cui segue per transitività
$2^(n+1)>=n+2$
Nutro dei dubbi sulla prima...
Prima di tutto vediamo se l'uguaglianza è verificata per $n=0$ e $n=1$ in modo da mostrare che l'insieme $P={n \in NN| 1+x+x^2+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$ è non vuoto, successivamente mostreremo applicando il principio di induzione che $P=NN$.
$n=0$) banalmente vera $1=\frac{1-x}{1-x}$
$n=1$) $1+x=\frac{1-x^2}{1-x}=\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x$
Supponiamo che valga per i primi $k$ termini, ovvero $S={n \in NN|n \leq k} sube P$ dimostriamo che anche $k+1 \in P$:
$(1+x+x^2+\cdots+x^{k})+x^{k+1}=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}+x^{k+1}=\frac{1-x^{k+1}+(1-x)x^{k+1}}{1-x}=\frac{1-x^{k+2}}{1-x}$
Dunque $S sube P \Rightarrow k+1 \in P$, per il principio di induzione abbiamo che $P=NN$.
Per il secondo procedi in modo analogo...
Prima di tutto vediamo se l'uguaglianza è verificata per $n=0$ e $n=1$ in modo da mostrare che l'insieme $P={n \in NN| 1+x+x^2+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$ è non vuoto, successivamente mostreremo applicando il principio di induzione che $P=NN$.
$n=0$) banalmente vera $1=\frac{1-x}{1-x}$
$n=1$) $1+x=\frac{1-x^2}{1-x}=\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x$
Supponiamo che valga per i primi $k$ termini, ovvero $S={n \in NN|n \leq k} sube P$ dimostriamo che anche $k+1 \in P$:
$(1+x+x^2+\cdots+x^{k})+x^{k+1}=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}+x^{k+1}=\frac{1-x^{k+1}+(1-x)x^{k+1}}{1-x}=\frac{1-x^{k+2}}{1-x}$
Dunque $S sube P \Rightarrow k+1 \in P$, per il principio di induzione abbiamo che $P=NN$.
Per il secondo procedi in modo analogo...
Oh bene grazie dan95 e grazie anche a te vulpasir.. Il mio problema è quando devo sostituire con n+1 mi confondo e sbaglio sempre.. Invece per n=0 e n=1 l'avevo fatto ma grazie a voi adesso so che è giusto grazie!
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