Esercizi su Integrali indefiniti
Ciao a tutti, vi chiedo una mano per la risoluzione di questi 3 integrali. Magari fornitemi qualche indicazione su come posso risolverli, per parti o per sostituzione (nel caso cosa impongo nella nuova incognita).
Sono un pò in difficoltà:
$intxcos^2x^2dx$
$int x^4/(x^4-1)dx$
$int (x^3-1)/(x^4-4x-1)dx$
Vi ringrazio già ora per l'aiuto...c'ho messo un pò a scrivere questo post, visto che sto imparando ora ad usare il linguaggio ASCIIMath!
Sono un pò in difficoltà:
$intxcos^2x^2dx$
$int x^4/(x^4-1)dx$
$int (x^3-1)/(x^4-4x-1)dx$
Vi ringrazio già ora per l'aiuto...c'ho messo un pò a scrivere questo post, visto che sto imparando ora ad usare il linguaggio ASCIIMath!
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum! 
Decisamente apprezzabile il tuo impegno per scrivere le formule in forma comprensibile, attenzione però anche all'italiano: "po' " si scrive con l'apostrofo e non con l'accento...
Convenevoli a parte veniamo agli integrali.
1) conviene eseguire la sostituzione $t=x^2$ e poi procedere per parti o utilizzando la formula di bisezione del coseno;
2-3) queste sono funzioni razionali fratte. La loro risoluzione segue la procedura generale illustrata in qualunque testo di analisi.
Cerca di risolvere un integrale alla volta riportando eventualmente nel forum lo svolgimento fino a dove ti trovi in difficoltà e di chiarire, caso per caso, il tipo di problemi che incontri.
Decisamente apprezzabile il tuo impegno per scrivere le formule in forma comprensibile, attenzione però anche all'italiano: "po' " si scrive con l'apostrofo e non con l'accento...
Convenevoli a parte veniamo agli integrali.
1) conviene eseguire la sostituzione $t=x^2$ e poi procedere per parti o utilizzando la formula di bisezione del coseno;
2-3) queste sono funzioni razionali fratte. La loro risoluzione segue la procedura generale illustrata in qualunque testo di analisi.
Cerca di risolvere un integrale alla volta riportando eventualmente nel forum lo svolgimento fino a dove ti trovi in difficoltà e di chiarire, caso per caso, il tipo di problemi che incontri.
Mi sto documentando su come si risolvono gli integrali con le funzioni razion. fratte.
Intanto ho risolto la prima con il metodi che mi hai consigliato. Lo riporto, ditemi pure se è fatto bene...
$intx cos^2x^2 dx$
Sostituisco: t=$x^2$. Ed ottengo:
$1/2 int cos^2t dt
Risolvo per parti:
$intcost * cost dt = -cost*sent - int-sent * sent dt = -cost *sent - sent*cost - intcos^2t$
Alla fine ottengo quindi l'uguaglianza: $intcos^2t = - sent*cost$
Tornando poi prima della risoluzione per parti, ho: $1/2 int cos^2t dt = -1/2 sent*cost = -1/2 senx^2 * cosx^2$
Potete dirmi se è giusto??
Intanto ho risolto la prima con il metodi che mi hai consigliato. Lo riporto, ditemi pure se è fatto bene...
$intx cos^2x^2 dx$
Sostituisco: t=$x^2$. Ed ottengo:
$1/2 int cos^2t dt
Risolvo per parti:
$intcost * cost dt = -cost*sent - int-sent * sent dt = -cost *sent - sent*cost - intcos^2t$
Alla fine ottengo quindi l'uguaglianza: $intcos^2t = - sent*cost$
Tornando poi prima della risoluzione per parti, ho: $1/2 int cos^2t dt = -1/2 sent*cost = -1/2 senx^2 * cosx^2$
Potete dirmi se è giusto??
Hai fatto un po' di casino con i segni
$intcost * cost dt = +cost*sent - int-sent * sent dt = cost *sent +int( 1 -cos^2t)dt=cost *sent +t-intcos^2tdt$ portando l'integrale tutto a primo membro ottieni
$2intcos^2t dt = cost *sent +t +c=>intcos^2t dt = 1/2cost *sent +t/2 +c$
risostituendo hai $intx cos^2x^2 dx=1/4cosx^2 *senx^2 +x^2/4 +c$
Ciao
$intcost * cost dt = +cost*sent - int-sent * sent dt = cost *sent +int( 1 -cos^2t)dt=cost *sent +t-intcos^2tdt$ portando l'integrale tutto a primo membro ottieni
$2intcos^2t dt = cost *sent +t +c=>intcos^2t dt = 1/2cost *sent +t/2 +c$
risostituendo hai $intx cos^2x^2 dx=1/4cosx^2 *senx^2 +x^2/4 +c$
Ciao
"amelia":
Hai fatto un po' di casino con i segni
$intcost * cost dt = +cost*sent - int-sent * sent dt = cost *sent +int( 1 -cos^2t)dt=cost *sent +t-intcos^2tdt$ portando l'integrale tutto a primo membro ottieni
$2intcos^2t dt = cost *sent +t +c=>intcos^2t dt = 1/2cost *sent +t/2 +c$
risostituendo hai $intx cos^2x^2 dx=1/4cosx^2 *senx^2 +x^2/4 +c$
Ciao
Grazie mille, avevo fatto un paio d'erroracci con i segni...
potete darmi qualche indicazione su quest'altro integrale?
$int x * ln sqrt(3-x) dx$
Immagino si risolva per parti, ma quando ho questi logaritmi nell'integrale vado in confusione...
$int x * ln sqrt(3-x) dx$
Immagino si risolva per parti, ma quando ho questi logaritmi nell'integrale vado in confusione...
L'idea di procedere integrando per parti mi sembra corretta.
Prima io trasformerei anche l'integranda sfruttando una proprietà dei logaritmi, in modo da togliermi dai piedi quella fastidiosa radice
$intx ln sqrt(3-x)dx = intx ln (3-x)^(1/2)dx = intx/2 ln (3-x)dx = x^2/4 ln (3-x) - int x^2/4 (-1/(3-x))dx = x^2/2 ln (3-x) - 1/4 int (-x^2)/(3-x)dx$
e dentro l'integrale ti ritrovi una funzione raizonale fratta che si può risolvere con i metodi standard (per velocizzare il procedimento di risoluzione in questo caso puoi adottare il trucco di sommare e sottrarre $9$ a numeratore...).
Prima io trasformerei anche l'integranda sfruttando una proprietà dei logaritmi, in modo da togliermi dai piedi quella fastidiosa radice
$intx ln sqrt(3-x)dx = intx ln (3-x)^(1/2)dx = intx/2 ln (3-x)dx = x^2/4 ln (3-x) - int x^2/4 (-1/(3-x))dx = x^2/2 ln (3-x) - 1/4 int (-x^2)/(3-x)dx$
e dentro l'integrale ti ritrovi una funzione raizonale fratta che si può risolvere con i metodi standard (per velocizzare il procedimento di risoluzione in questo caso puoi adottare il trucco di sommare e sottrarre $9$ a numeratore...).
"Cozza Taddeo":
L'idea di procedere integrando per parti mi sembra corretta.
Prima io trasformerei anche l'integranda sfruttando una proprietà dei logaritmi, in modo da togliermi dai piedi quella fastidiosa radice
$intx ln sqrt(3-x)dx = intx ln (3-x)^(1/2)dx = intx/2 ln (3-x)dx = x^2/4 ln (3-x) - int x^2/4 (-1/(3-x))dx = x^2/2 ln (3-x) - 1/4 int (-x^2)/(3-x)dx$
e dentro l'integrale ti ritrovi una funzione raizonale fratta che si può risolvere con i metodi standard (per velocizzare il procedimento di risoluzione in questo caso puoi adottare il trucco di sommare e sottrarre $9$ a numeratore...).
Ho capito, ti ringrazio: adesso finisco di svolgere l'integrale rimasto:
$int -x^2/(3-x) dx = int (-x^2+9-9)/(3-x)dx = int ((3-x)(3+x)-9)/(3-x) dx= int(3+x) dx -9int1/(3-x) dx = x^2/2 +9int 1/(x-3) dx = x^2/2 +9ln(x-3) +c$
(x-3) in modulo, ma non so come si scrive in codice!
ciao e ancora grazie...
Occhio che ti sei perso un pezzo di integrale per strada...
$int(3+x)dx-9 int 1/(3-x)dx=3x+x^2/2+9 int 1/(x-3)dx$...
Buona matematica!
$int(3+x)dx-9 int 1/(3-x)dx=3x+x^2/2+9 int 1/(x-3)dx$...
Buona matematica!
certo hai ragione! avevo dimenticato l'integrale di 3 nella trascrizione...grazie ancora!
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