Esercizi su infiniti e infinitesimi

[DanieleEEco]

Salve!

Potrei chiedervi un piccolo aiuto con questi due esercizi?

Determinare l'infinitesimo campione equivalante all'infinitesimo

[math]f(x)=\frac{sen(3x^3+log(x^2+1))}{x}[/math]

in zero

Determinare l'infinito campione equvialente all'infinito

[math]f(x)=log(5x^2+1)+\frac{radice x^3+7x}{3x}[/math]

in + infinito

(non so se riesco a scrivere correttamente con il linguaggio matematico, nel dubbio posto anche una foto dei due esercizi)

Grazie a tutti :)

[mc2]

Usiamo lo sviluppo di McLaurin per sin e log, tenendo solo le potenze di x di grado piu` basso:

[math]f(x)=\frac{\sin(3x^3+\log(x^2+1))}{x}=\frac{\sin(3x^3+(x^2+O(x^4)))}{x}=[/math]

[math]=\frac{\sin(x^2+O(x^3))}{x}=x+O(x^2)[/math]

quindi l'infinitesimo equivalente e` x



Nella seconda funzione: ricordati che se scrivi

[math]radicex^3+7x[/math]

si intende

[math]\sqrt{x^3}+7x[/math]

: devi usare le parentesi!!!

Oppure scrivi in latex con il comando \sqrt{...}


Nel limite ad infinito il log perde contro qualsiasi potenza di x, quindi consideriamo solo il secondo termine, questa volta tenendo sempre e solo le potenze di x piu` grandi:

[math]\frac{\sqrt{x^3+7x}}{3x}=\frac{x^{3/2}+\dots}{3x}=\frac{1}{3}x^{1/2}+\dots[/math]

quindi l'infinito equivalente e`

[math]x^{1/2}[/math]