Esercizi su funzioni di 2 variabili

[Aletzunny1]

Scrivo qui tre esercizi(senza aprire tre post differenti) di cui non riesco ad arrivare a una soluzione:
(se ci fossero errori scusatemi ma ci ho messo moltissimo a scriverle in codice).

$1)$ sia $g:RR->RR$ continua e $f:RR^2->RR$ così definita
$f(x,y)={((xe^y-ye^x)/(x-y),if x!=y),(g(x),if x=y):}$
determinare se esiste $g$ tale che $f$ risulti continua in $RR^2$.
Determinare se $f$ è differenziabile in $(0,0)$

Poiché non riesco a svolgere la prima richiesta non riesco a fare neanche la seconda.
Infatti sulla prima non ho idea di come poter ragionare sulla continuità di $f$ senza considerare un punto, anche passando alle coordinate polari.

$2)$ $f(x,y)={((xy*e^(-|x/(x-y)|))/(x-y),if x!=y),(0,if x=y):}$

Discutere la continuità, la differenziabilità e la derivabilità in $(0,0)$
passando alle coordinate polari trovo
$(rho*cos(theta)*sin(theta)*e^(-|cos(theta)/(cos(theta)-sin(theta))|))/(cos(theta)-sin(theta))$
Poichè $|cos(theta)-sin(theta)|<=sqrt(2)$, $|cos(theta)/(cos(theta)-sin(theta))|$ $->+infty$ e $|cos(theta)sin(theta)|<=1/2$ ottengo che $|f(x,y)|<=(rho*1/2*o^+)/sqrt(2)$ $->0$ e dunque $f$ è continua in $(0,0)$
Potrebbe andare bene?
Ho qualche dubbio sulla correttezza per via del fatto che il limite valga $0$ indipendentemente da $rho$.
Derivate: usando $v=(v_1,v_2)$
$(d_f/d_v)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(tv_1,tv_2)-f(0,0))/t$ $=(v_1v_2*e^(-|v_1/(v_1-v_2)|))/(v_1-v_2)$ se $v_1 != v_2$

se $v_1=v_2$ allora $(d_f/d_v)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(tv_1,tv_1)-f(0,0))/t$ $=0$ per come è definita $f$.

$(d_f/d_x)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(t,0)-f(0,0))/t =(0*e^(-1))/t^2=0$
$(d_f/d_y)(0,0)$ $=lim_(t->0)(f(0,t)-f(0,0))/t =(0*1)/(-t^2)=0$

Dunque se $f$ fosse differenziabile allora dovrebbe valere
$(d_f/d_v)(0,0)=(d_f/d_x)(0,0)*v_1+(d_f/d_y)(0,0)*v_2$ ma ciò è vero solo se $v_1=v_2$ e dunque $f$ non è differenziabile in $(0,0)$

$3)$ $f(x,y)={((x-y^2)ln|x-y|),if x!=y),(0,if x=y):}$
determinare se $f$ è continua in $(0,0)$ e/o $(1,1)$.

Qui ho provato a passare alle coordinate polari facendo tendere $rho->0^+$ per $(0,0)$ e $rho->1^+$ per $(1,1)$ ma non riesco a togliermi dalla forma di indecisione $0*(-infty)$ oppure trovare una successione che tenda a $0$ tale che però la funzione $f$ su quella successione non tenda a $0$ per la continuità in $(0,0)$ e trovare una successione che tenda a $1$ tale che però la funzione $f$ su quella successione non tenda a $0$ per la continuità in $(1,1)$.

Grazie a chi mi darà una mano.

[Aletzunny1]

Nessuno riesce a darmi una mano/conferma?
Grazie

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda la prima parte dell'esercizio numero 1, si tratta di discutere il seguente limite:

$lim_((x,y)->(a,a))(xe^y-ye^x)/(x-y)$

per $AA a in R$. Tuttavia, mediante la trasformazione di coordinate sottostante (rototraslazione):

$\{(x=sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a),(y=sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a):}$

poiché:

$(xe^y-ye^x)/(x-y)=$

$=((sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a)e^(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)-(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)e^(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a))/(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary+a-sqrt2/2barx-sqrt2/2bary-a)=$

$=(e^(sqrt2/2barx+a)[(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)e^(sqrt2/2bary)+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)e^(-sqrt2/2bary)])/(sqrt2bary)$

è possibile ricondursi al seguente limite:

$lim_((barx,bary)->(0,0))(e^(sqrt2/2barx+a)[(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)e^(sqrt2/2bary)+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)e^(-sqrt2/2bary)])/(sqrt2bary)$

In questo modo:

$(e^(sqrt2/2barx+a)[(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)(1+sqrt2/2bary+o(bary))+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)(1-sqrt2/2bary+o(bary))])/(sqrt2bary)=$

$=(e^(sqrt2/2barx+a)[-barx+sqrt2-sqrt2a+(-sqrt2/2barx+sqrt2/2bary-a)o(1)+(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary+a)o(1)])/sqrt2 rarr e^a(1-a)$

In definitiva:

$g(x)=e^x(1-x)$

[Aletzunny1]

Grazie, questa tecnica delle rototraslazioni non l'avevo mai vista usare e non ne conoscevo le proprietà.
Dunque poichè $(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0) [f(t,0)-f(0,0)]/t=(-t*1/t-1)*(1/t)=-2/t$ e tale limite non esiste finito si ha che $f$ non è differenziabile in $(0,0)$. Corretto?

Inoltre sugli altri due esercizi qualcosa di buono l'ho fatto o ci sono errori?
Grazie

Invece per gli altri esercizi hai

[Studente Anonimo]

Francamente, non ho capito che cosa tu abbia fatto. Ad ogni modo, per stabilire se la funzione è differenziabile nell'origine, si può procedere mediante la definizione:

$lim_((h,k)->(0,0))(f(0+h,0+k)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)h-(delf)/(dely)(0,0)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$

Intanto:

$f(0+h,0+k)=f(h,k)=(he^k-ke^h)/(h-k)$

$f(0,0)=1$

$[f(x,0)=1] rarr [(delf)/(delx)(0,0)=0]$

$[f(0,y)=1] rarr [(delf)/(dely)(0,0)=0]$

Quindi:

$[lim_((h,k)->(0,0))((he^k-ke^h)/(h-k)-1)/sqrt(h^2+k^2)=0] rarr [lim_((h,k)->(0,0))(he^k-ke^h-h+k)/((h-k)sqrt(h^2+k^2))=0]$

Insomma, per ora lascio a te dimostrare l'esistenza dell'ultimo limite.

P.S.
Un caso a parte se $h=k$.

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":Francamente, non ho capito che cosa tu abbia fatto. Ad ogni modo, per stabilire se la funzione è differenziabile nell'origine, si può procedere mediante la definizione:

$lim_((h,k)->(0,0))(f(0+h,0+k)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)h-(delf)/(dely)(0,0)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$

Intanto:

$f(0+h,0+k)=f(h,k)=(he^k-ke^h)/(h-k)$

$f(0,0)=1$

$[f(x,0)=1] rarr [(delf)/(delx)(0,0)=0]$

$[f(0,y)=1] rarr [(delf)/(dely)(0,0)=0]$

Quindi:

$[lim_((h,k)->(0,0))((he^k-ke^h)/(h-k)-1)/sqrt(h^2+k^2)=0] rarr [lim_((h,k)->(0,0))(he^k-ke^h-h+k)/((h-k)sqrt(h^2+k^2))=0]$

Insomma, per ora lascio a te dimostrare l'esistenza dell'ultimo limite.

P.S.
Un caso a parte se $h=k$.

Si si ho sbagliato io un segno...ora mi torna...

Sugli altri invece non hai capito anche lì oppure ti riferivi alla mia risposta?

[Studente Anonimo]

Mi riferivo al primo esercizio. Per quanto riguarda gli altri due, ti faccio sapere.

P.S.
Il secondo mi sembra abbastanza convincente.

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":Mi riferivo al primo esercizio. Per quanto riguarda gli altri due, ti faccio sapere.

P.S.
Il secondo mi sembra abbastanza convincente.

Perfetto!

Grazie

[Studente Anonimo]

Nell'esercizio numero 3, per quanto riguarda la continuità in $(0,0)$ e in $(1,1)$, si può procedere con l'aiuto della figura sottostante:

Premesso che:
1. I cerchi sono intorni di raggio piccolo a piacere.
2. Le parabole sono curve di livello del primo fattore:

$x-y^2=k$

lascio a te intuire come vorrei dimostrare, a parole, che i due limiti non esistono.

P.S.
Ovviamente, non escludo che esistano altre vie di più facile formalizzazione. Tuttavia, nonostante lo sforzo profuso, non sono riuscito a trovarle.

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":Nell'esercizio numero 3, per quanto riguarda la continuità in $(0,0)$ e in $(1,1)$, si può procedere con l'aiuto della figura sottostante:

Premesso che:
1. I cerchi sono intorni di raggio piccolo a piacere.
2. Le parabole sono curve di livello del primo fattore:

$x-y^2=k$

lascio a te intuire come vorrei dimostrare, a parole, che i due limiti non esistono.

P.S.
Ovviamente, non escludo che esistano altre vie di più facile formalizzazione. Tuttavia, nonostante lo sforzo profuso, non sono riuscito a trovarle.

Grazie...devo trovare una direzione che mi dimostri la non continuità.

P.S. a me il limite del post precedente viene impossibile, ma non capisco dove sbaglio.

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":
... a me il limite del post precedente viene impossibile ...

Veramente, io non l'ho ancora affrontato. Insomma, non so se quel limite esiste. Ad ogni modo, se hai già dimostrato che non esiste, puoi sempre postare il procedimento.

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":[quote="Aletzunny"]
... a me il limite del post precedente viene impossibile ...

Veramente, io non l'ho ancora affrontato. Insomma, non so se quel limite esiste. Ad ogni modo, se hai già dimostrato che non esiste, puoi sempre postare il procedimento.
[/quote]

Dopo diversi tentativi sia con gli asintotici, De l'Hopital e limiti notevoli poiché non ne venivo a una ho provato a inserire il limite su Wolfram alpha e mi ha restituito impossibile.

[Studente Anonimo]

Tornando al primo esercizio, per quanto riguarda la differenziabilità nell'origine, si trattava di dimostrare l'esistenza del limite sottostante:

$lim_((h,k)->(0,0))(he^k-ke^h-h+k)/((h-k)sqrt(h^2+k^2))=0$

Ebbene:

Numeratore

$he^k-ke^h-h+k=$

$=h\sum_{n=0}^{+oo}k^n/(n!)-k\sum_{n=0}^{+oo}h^n/(n!)-h+k=$

$=h+hk+1/2hk^2+hk\sum_{n=3}^{+oo}k^(n-1)/(n!)-k-hk-1/2h^2k-hk\sum_{n=3}^{+oo}h^(n-1)/(n!)-h+k=$

$=-1/2hk(h-k)-hk\sum_{n=3}^{+oo}(h^(n-1)-k^(n-1))/(n!)=$

$=-1/2hk(h-k)-hk\sum_{n=3}^{+oo}((h-k)(h^(n-2)+h^(n-3)k+...+hk^(n-3)+k^(n-2)))/(n!)=$

$=-1/2hk(h-k)-hk(h-k)\sum_{n=3}^{+oo}(h^(n-2)+h^(n-3)k+...+hk^(n-3)+k^(n-2))/(n!)=$

$=hk(h-k)(-1/2-\sum_{n=3}^{+oo}(h^(n-2)+h^(n-3)k+...+hk^(n-3)+k^(n-2))/(n!))$

Denominatore

$(h-k)sqrt(h^2+k^2)$

Limite

$lim_((h,k)->(0,0))(hk(-1/2-\sum_{n=3}^{+oo}(h^(n-2)+h^(n-3)k+...+hk^(n-3)+k^(n-2))/(n!)))/sqrt(h^2+k^2)=0$

Inoltre, poiché:

$[|hk| lt= h^2+k^2] rarr [|hk|/sqrt(h^2+k^2) lt= (h^2+k^2)/sqrt(h^2+k^2)] rarr [|hk|/sqrt(h^2+k^2) lt= sqrt(h^2+k^2)]$

l'esistenza del limite è assicurata. A questo punto, come scritto in un precedente messaggio, non rimane che analizzare il caso in cui $h=k$, sostanzialmente equivalente a dimostrare che la derivata della funzione sottostante:

$g(x)=e^x(1-x)$

sia nulla per $x=0$. Infatti:

$[(dg)/(dx)(x)=-xe^x] rarr [(dg)/(dx)(0)=0]$