Esercizi su caratteri delle serie
Salve ragazzi, sto studiando l'argomento serie, vorrei capire su alcuni esercizi se sto sbagliando qualcosa o sono giusti. Prendiamo quest'esercizio in cui bisogna stabilire il carattere della serie (vi spiego anche il mio procedimento):
$\sum_{n=1}^\infty arctan(n)/(n^2+1)$
Lo svolgimento per quanto ne so sembra troppo semplice, per questo ho dei dubbi
Usando il criterio del confronto asintotico:
$arctan(n) ~ n$
$n^2+1 ~ n^2$
Pertanto:
$n/n^2=1/n$ (Serie armonica, che essendo divergente, per il criterio del confronto asintotico divergerà anche la serie di partenza). So che il risultato è sbagliato perché la serie dovrebbe dare come risultato la convergenza, ma in pratica dov'è l'errore?
$\sum_{n=1}^\infty arctan(n)/(n^2+1)$
Lo svolgimento per quanto ne so sembra troppo semplice, per questo ho dei dubbi
Usando il criterio del confronto asintotico:
$arctan(n) ~ n$
$n^2+1 ~ n^2$
Pertanto:
$n/n^2=1/n$ (Serie armonica, che essendo divergente, per il criterio del confronto asintotico divergerà anche la serie di partenza). So che il risultato è sbagliato perché la serie dovrebbe dare come risultato la convergenza, ma in pratica dov'è l'errore?
Risposte
$arctan(x)~x,x->0$
Già, è vero, come ho fatto a non pensarci... l'equivalenza in questione vale se x tende a 0. Credo di aver risolto in maniera diversa, ovvero semplicemente con il criterio del confronto. Magari a breve posterò qualche altro esercizio sulle serie in questo topic, intanto grazie.
Ciao GlassPrisoner91,
Occhio che ha ragione anto...
Scriverei semplicemente
$\sum_{n=1}^\infty arctan(n)/(n^2+1) < \sum_{n=1}^\infty 2/n^2 = 2 \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 $
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2$, che è convergente.
Occhio che ha ragione anto...
Scriverei semplicemente
$\sum_{n=1}^\infty arctan(n)/(n^2+1) < \sum_{n=1}^\infty 2/n^2 = 2 \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 $
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2$, che è convergente.
Si lo so... ho notato inoltre che la soluzione da te scritta sembra ancora più semplice della mia. Grazie.
Eccomi, con nuovi dubbi, l'esercizio in questione è questo (stabilire il carattere della serie ovviamente):
$\sum_{n=1}^\infty 3^(n-1)/((n-1)!)$
Ho utilizzato il criterio del rapporto in questo modo:
$((3^n)/(n!))/(((3-1)*3^n)/((n-1)*n!))$
Aggiustando, calcolo quindi il limite di:
$\lim_{n \to \infty}((3^n)/(n!)*((n-1)*n!)/((3-1)*3^n)) = \lim_{n \to \infty}((n-1)/(3-1)) = \infty$
Per il criterio, essendo $L>1$ la serie diverge positivamente, ho qualche dubbio però.
$\sum_{n=1}^\infty 3^(n-1)/((n-1)!)$
Ho utilizzato il criterio del rapporto in questo modo:
$((3^n)/(n!))/(((3-1)*3^n)/((n-1)*n!))$
Aggiustando, calcolo quindi il limite di:
$\lim_{n \to \infty}((3^n)/(n!)*((n-1)*n!)/((3-1)*3^n)) = \lim_{n \to \infty}((n-1)/(3-1)) = \infty$
Per il criterio, essendo $L>1$ la serie diverge positivamente, ho qualche dubbio però.
Ciao GlassPrisoner91,
... E fai bene ad averlo, perché hai applicato male il criterio del rapporto. La serie converge, e si vede anche bene a quale valore:
$\sum_{n=1}^\infty 3^(n-1)/((n-1)!) = e^3$
"GlassPrisoner91":
...ho qualche dubbio però.
... E fai bene ad averlo, perché hai applicato male il criterio del rapporto. La serie converge, e si vede anche bene a quale valore:
$\sum_{n=1}^\infty 3^(n-1)/((n-1)!) = e^3$
"GlassPrisoner91":
$\sum_{n=1}^\infty 3^(n-1)/((n-1)!)$
Ho utilizzato il criterio del rapporto in questo modo:
$((3^n)/(n!))/(((3-1)*3^n)/((n-1)*n!))$
Dato
$a_n = 3^(n-1)/((n-1)!) rArr a_(n+1)/a_n=(3^n/(n!))/(3^(n-1)/((n-1)!))=3^n/3^(n-1) ((n-1)!)/(n!)$
Poiché $n! =n*(n-1)!$
$3^n/3^(n-1) ((n-1)!)/(n*(n-1)!)=3/(n)$
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