Esercizi studio carattere integrali generalizzati
Ho alcune difficoltà nella risoluzione degli integrali generalizzati e non sono certo di alcuni passaggi. Potreste dare uno sguardo e indirizzarmi?
1) $int_(0)^(+oo) x^(3/2)/(e^x-1-sinx) dx :=I$ Ho che la funzione è continua in $(0,+oo)$ ed è positiva in $(0,+oo)$ quindi divido l'integrale in: $I_1= int_(0)^(1) f(x) dx$ e $I_2=int_(1)^(+oo) f(x) dx$
Per $I_1$:
Ho cercato di usare il confronto asintotico, il fatto è che $e^x-1$ e $sinx$ sono entrambi asintoticamente equivalenti a $x$ per $x->0$ quindi ho pensato di usare gli sviluppi di taylor fino al terzo ordine trovando $e^x-1-sinx ~ x^(2)/2+x^3/3 + o(x^3)$ per $x->0$ E' corretto?
Da cui $x^(3/2)/(e^x-1-sinx)~ x^(3/2)/(x^(2)/2+x^3/3 + o(x^3))=x^(3/2)/(x^2(1/2+x/3+o(x))) ~
1/((1/2)x^(-1/2))$ Che converge, quindi per il criterio del confronto asintotico anche $I_1$ converge.
Sono giuste queste uguaglianze ed equivalenze?
Per $I_2$:
$x^(3/2)/(e^x-1-sinx) ~x^(3/2)/(e^x(1+o(1)+o(1)))~ x^(3/2)/e^x$ Però non sembra mi porti altrove. Cosa posso concludere?
E' corretto dire che $x^(3/2)/e^x~ 1/e^x=e^-x$ e poi studiarne il limite per trovare che converge a $e^-1$ ?
2) $int_(e^3)^(+oo) arctanx/(xsqrt(logx -3)) dx :=I$ Ancora $f(x)\inC((e^3,+oo))$ e positiva nel dominio di integrazione estremi esclusi. Divido l'integrale: $I=int_(e^3)^(c)f(x) dx+int_(c)^(+oo)f(x) dx $ $\forall c>e^3$
Qui non so proprio come muovermi.
Per il primo integrale il massimo che sono riuscito a fare è stato nuovamente usare il confronto asintotico che per $x->e^3$ : $logx-3=log(e^3-e^3+x)-3=loge^3+log(1+ (x-e^3)/e^3)-3 ~loge^3 + (x-e^3)/e^3-3= (x-e^3)/e^3$
Quindi mi ritrovo con $arctane^3/(xsqrt((x-e^3)/(e^3))$ Però non ho idea di come procedere, non riesco a ricondurmi ad altre equivalenze asintotiche o costruire confronti
Per il secondo integrale noto che per $x->+oo$ $arctanx/(xsqrt(logx -3))~1/sqrt(log(x)-3)~1/sqrt(log(x))=1/(x^0*(logx)^(1/2))$ che diverge. Posso farlo? posso usare il limite notevole in questo modo? ho provato a tracciare il grafico e sembra una massiccia approssimazione per $x->+oo$. E' vero che si parla di equivalenze all'infinito però non lo so.
3)Per ultimo vi chiedo consiglio su quale integrale generalizzato notevole fare riferimento quando mi trovo in situazioni del tipo $int_(1/2)^(1) 1/(x-1) dx$ l'integrale notevole che conosco è il seguente $ int_(x_0)^(x_0+delta) 1/|x-x_0|^alpha dx$. Però non è lo stesso tipo di integrale, gli estremi sono differenti. Come ci si muove in questi casi? Magari questo esempio è un integrale banale risolvibile tramite limite però se dovessi avere delle potenze e sempre con l'estremo di integrazione differente da $x_0$?
Vi ringrazio per il vostro tempo! Perdonate il papiro
1) $int_(0)^(+oo) x^(3/2)/(e^x-1-sinx) dx :=I$ Ho che la funzione è continua in $(0,+oo)$ ed è positiva in $(0,+oo)$ quindi divido l'integrale in: $I_1= int_(0)^(1) f(x) dx$ e $I_2=int_(1)^(+oo) f(x) dx$
Per $I_1$:
Ho cercato di usare il confronto asintotico, il fatto è che $e^x-1$ e $sinx$ sono entrambi asintoticamente equivalenti a $x$ per $x->0$ quindi ho pensato di usare gli sviluppi di taylor fino al terzo ordine trovando $e^x-1-sinx ~ x^(2)/2+x^3/3 + o(x^3)$ per $x->0$ E' corretto?
Da cui $x^(3/2)/(e^x-1-sinx)~ x^(3/2)/(x^(2)/2+x^3/3 + o(x^3))=x^(3/2)/(x^2(1/2+x/3+o(x))) ~
1/((1/2)x^(-1/2))$ Che converge, quindi per il criterio del confronto asintotico anche $I_1$ converge.
Sono giuste queste uguaglianze ed equivalenze?
Per $I_2$:
$x^(3/2)/(e^x-1-sinx) ~x^(3/2)/(e^x(1+o(1)+o(1)))~ x^(3/2)/e^x$ Però non sembra mi porti altrove. Cosa posso concludere?
E' corretto dire che $x^(3/2)/e^x~ 1/e^x=e^-x$ e poi studiarne il limite per trovare che converge a $e^-1$ ?
2) $int_(e^3)^(+oo) arctanx/(xsqrt(logx -3)) dx :=I$ Ancora $f(x)\inC((e^3,+oo))$ e positiva nel dominio di integrazione estremi esclusi. Divido l'integrale: $I=int_(e^3)^(c)f(x) dx+int_(c)^(+oo)f(x) dx $ $\forall c>e^3$
Qui non so proprio come muovermi.
Per il primo integrale il massimo che sono riuscito a fare è stato nuovamente usare il confronto asintotico che per $x->e^3$ : $logx-3=log(e^3-e^3+x)-3=loge^3+log(1+ (x-e^3)/e^3)-3 ~loge^3 + (x-e^3)/e^3-3= (x-e^3)/e^3$
Quindi mi ritrovo con $arctane^3/(xsqrt((x-e^3)/(e^3))$ Però non ho idea di come procedere, non riesco a ricondurmi ad altre equivalenze asintotiche o costruire confronti
Per il secondo integrale noto che per $x->+oo$ $arctanx/(xsqrt(logx -3))~1/sqrt(log(x)-3)~1/sqrt(log(x))=1/(x^0*(logx)^(1/2))$ che diverge. Posso farlo? posso usare il limite notevole in questo modo? ho provato a tracciare il grafico e sembra una massiccia approssimazione per $x->+oo$. E' vero che si parla di equivalenze all'infinito però non lo so.
3)Per ultimo vi chiedo consiglio su quale integrale generalizzato notevole fare riferimento quando mi trovo in situazioni del tipo $int_(1/2)^(1) 1/(x-1) dx$ l'integrale notevole che conosco è il seguente $ int_(x_0)^(x_0+delta) 1/|x-x_0|^alpha dx$. Però non è lo stesso tipo di integrale, gli estremi sono differenti. Come ci si muove in questi casi? Magari questo esempio è un integrale banale risolvibile tramite limite però se dovessi avere delle potenze e sempre con l'estremo di integrazione differente da $x_0$?
Vi ringrazio per il vostro tempo! Perdonate il papiro
Risposte
(1) La parte di $I_1$ è corretta, anche se nell'ultimo denominatore hai messo un $-1/2$ all'esponente quando ci andrebbe un $1/2$ e hai sviluppato più del necessario (il termine di secondo grado dell'esponenziale non si può cancellare perché il seno ha solo termini di grado dispari). Per $I_2$ non è corretta una stima asintotiche. Ricorda che $f(x) \approx g(x)$ per $x \to +\infty$ significa $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$; nota che ciò non è vero per il rapporto tra $\frac{x^{3/2}}{e^x}$ e $\frac{1}{e^x}$. Essendo invece corretta la stima asintotica che ti porta a $\frac{e^{3/2}}{e^x}$, puoi ovviare come segue. Dato che:
$$\lim_{x \to +\infty} x^2 \frac{x^{3/2}}{e^x}=0$$
Per definizione di limite, esiste $M>0$ tale che per ogni $x \in \mathbb{R}$, $x>M$ implica $\frac{x^{3/2}}{e^x}<\frac{1}{x^2}$. Quindi, spezzi l'integrale in $[0,M]$ ed $[M,+\infty)$ e concludi. L'idea intuitiva del come mai ho deciso di considerare il limite e di moltiplicare proprio per $x^2$ la funzione integranda è la seguente: $e^x$ a denominatore, per $x$ grandi, trascina a $0$ qualsiasi funzione che cresca meno velocemente di $e^x$ (in particolare, le potenze $x^u$ per ogni $u>0$) e quindi, se $x$ è abbastanza grande, posso rendere arbitrariamente piccola la funzione integranda (quindi, ad esempio, più piccola di $1$). Dato che ciò avviene con qualsiasi potenza al numeratore (sempre a patto di prendere $x$ abbastanza grande), posso rendere la funzione integranda moltiplicata per una qualsiasi potenza arbitrariamente piccola. Ma allora la moltiplico per una potenza tale che, quando andrò a dividere per quella potenza, avrò una stima sufficiente a dimostrare la convergenza.
(2) Il limite notevole dell'arcotangente è per $x \to 0$, non per $x\to +\infty$; quindi, all'infinito il ragionamento è sbagliato. Qui ti conviene ragionare solo all'infinito: chi domina a denominatore all'infinito? Stabilito ciò, fai un confronto asintotico tra la funzione integranda e quello che hai trovato; risulterà che l'integrale è divergente. Dato che la funzione integranda è sempre positiva in $[e^3,+\infty)$, puoi dedurre che allora c'è divergenza a $+\infty$ senza studiare l'integrale in $[e^3,c]$.
(3) Per il caso più generale, sappi che puoi ricondurti a quello che vuoi con opportune sostituzioni: ricordati che il problema è sempre negli intorni dei punti in cui le funzioni sono illimitate, il resto non conta per la convergenza/divergenza. Quindi, puoi considerare l'intorno che ti serve.
Un suggerimento che mi sento di darti: ripassa bene che cos'è una stima asintotica, se lo avessi interiorizzato bene avresti dipanato da solo la metà dei tuoi dubbi.
$$\lim_{x \to +\infty} x^2 \frac{x^{3/2}}{e^x}=0$$
Per definizione di limite, esiste $M>0$ tale che per ogni $x \in \mathbb{R}$, $x>M$ implica $\frac{x^{3/2}}{e^x}<\frac{1}{x^2}$. Quindi, spezzi l'integrale in $[0,M]$ ed $[M,+\infty)$ e concludi. L'idea intuitiva del come mai ho deciso di considerare il limite e di moltiplicare proprio per $x^2$ la funzione integranda è la seguente: $e^x$ a denominatore, per $x$ grandi, trascina a $0$ qualsiasi funzione che cresca meno velocemente di $e^x$ (in particolare, le potenze $x^u$ per ogni $u>0$) e quindi, se $x$ è abbastanza grande, posso rendere arbitrariamente piccola la funzione integranda (quindi, ad esempio, più piccola di $1$). Dato che ciò avviene con qualsiasi potenza al numeratore (sempre a patto di prendere $x$ abbastanza grande), posso rendere la funzione integranda moltiplicata per una qualsiasi potenza arbitrariamente piccola. Ma allora la moltiplico per una potenza tale che, quando andrò a dividere per quella potenza, avrò una stima sufficiente a dimostrare la convergenza.
(2) Il limite notevole dell'arcotangente è per $x \to 0$, non per $x\to +\infty$; quindi, all'infinito il ragionamento è sbagliato. Qui ti conviene ragionare solo all'infinito: chi domina a denominatore all'infinito? Stabilito ciò, fai un confronto asintotico tra la funzione integranda e quello che hai trovato; risulterà che l'integrale è divergente. Dato che la funzione integranda è sempre positiva in $[e^3,+\infty)$, puoi dedurre che allora c'è divergenza a $+\infty$ senza studiare l'integrale in $[e^3,c]$.
(3) Per il caso più generale, sappi che puoi ricondurti a quello che vuoi con opportune sostituzioni: ricordati che il problema è sempre negli intorni dei punti in cui le funzioni sono illimitate, il resto non conta per la convergenza/divergenza. Quindi, puoi considerare l'intorno che ti serve.
Un suggerimento che mi sento di darti: ripassa bene che cos'è una stima asintotica, se lo avessi interiorizzato bene avresti dipanato da solo la metà dei tuoi dubbi.
Grazie per la risposta!
Non credo di aver capito questa cosa. Come hai ricavato $e^(3/2)$ ?
Cerco di scrivere quello che ho inteso (di ciò che hai scritto dopo) ma non credo di aver capito.
Hai scritto che $x^u/e^x ~ o(1)$ dato che il limite per $x->+oo$ è 0, ed è vero per ogni indice $u>0$, quindi posso moltiplicare $x^(3/2)$ per una potenza qualsiasi di $x$ ad esempio $x^2$, trovando che $(x^2*x^(3/2))/e^x$ che è ancora $ ~o(1) $ (??) e poi nulla, non ho capito come hai trovato l'equivalenza asintotica, non riesco a trovare limiti di rapporti di funzioni che mi danno $1$ in quello che hai scritto.
Non lo so mi sento di star scrivendo boiate, perdonami
Hai ragione, ho provato a risolvere la seconda parte mentre scrivevo la domanda e ho solo fatto confusione.
Per $x->+oo$ l'arcotangente tende a $pi/2$ quindi il tutto si riconduce allo studio di $1/(x*(logx)^(1/2))$ che diverge, quindi l'integrale di partenza diverge.
Non mi è chiaro. Nel caso dell'esempio riportato $int_(1/2)^(1) 1/(x-1) dx$ nonostante si possa risolvere integrando e studiandone il limite, come posso muovermi per ricondurmi ad una forma nota?
Diciamo che il concetto c'è però sì, è superficiale. Speravo di farlo mio esercitandomi.
"Mephlip":
(1)Per $I_2$[...] nota che ciò non è vero per il rapporto tra $x^(3/2)/e^x$ e $1/e^x$ Essendo invece corretta la stima asintotica che ti porta a $\frac{e^{3/2}}{e^x}$, puoi ovviare come segue.
Non credo di aver capito questa cosa. Come hai ricavato $e^(3/2)$ ?
Cerco di scrivere quello che ho inteso (di ciò che hai scritto dopo) ma non credo di aver capito.
Hai scritto che $x^u/e^x ~ o(1)$ dato che il limite per $x->+oo$ è 0, ed è vero per ogni indice $u>0$, quindi posso moltiplicare $x^(3/2)$ per una potenza qualsiasi di $x$ ad esempio $x^2$, trovando che $(x^2*x^(3/2))/e^x$ che è ancora $ ~o(1) $ (??) e poi nulla, non ho capito come hai trovato l'equivalenza asintotica, non riesco a trovare limiti di rapporti di funzioni che mi danno $1$ in quello che hai scritto.
Non lo so mi sento di star scrivendo boiate, perdonami
"Mephlip":
(2) Il limite notevole dell'arcotangente è per $x \to 0$, non per $x\to +\infty$; quindi, all'infinito il ragionamento è sbagliato.
Hai ragione, ho provato a risolvere la seconda parte mentre scrivevo la domanda e ho solo fatto confusione.
Per $x->+oo$ l'arcotangente tende a $pi/2$ quindi il tutto si riconduce allo studio di $1/(x*(logx)^(1/2))$ che diverge, quindi l'integrale di partenza diverge.
"Mephlip":
(3) Per il caso più generale, sappi che puoi ricondurti a quello che vuoi con opportune sostituzioni:
Non mi è chiaro. Nel caso dell'esempio riportato $int_(1/2)^(1) 1/(x-1) dx$ nonostante si possa risolvere integrando e studiandone il limite, come posso muovermi per ricondurmi ad una forma nota?
"Mephlip":
Un suggerimento che mi sento di darti: ripassa bene che cos'è una stima asintotica, se lo avessi interiorizzato bene avresti dipanato da solo la metà dei tuoi dubbi.
Diciamo che il concetto c'è però sì, è superficiale. Speravo di farlo mio esercitandomi.
Prego!
Era un typo, intendevo $\frac{x^{3/2}}{e^x}$; scusami. No, non uso stime asintotiche a quel punto: tu hai dimostrato che per $x \to +\infty$ l'integranda si comporta come $\frac{x^{3/2}}{e^x}$. Ora, hai che $x^2 \frac{x^{3/2}}{e^x} \to 0$ per $x \to +\infty$ e perciò, per definizione di limite, per ogni $\epsilon>0$ esiste $M_{\epsilon}>0$ tale che per ogni $x\in\mathbb{R}$, se $x>M_\epsilon$ allora $|x^2 \frac{x^{3/2}}{e^x}|<\epsilon$. Per l'arbitrarietà di $\epsilon>0$, possiamo fissare $\epsilon=1$ e successivamente dividere per $x^2$ ottenendo che esiste $M>0$ tale che per ogni $x\in\mathbb{R}$, se $x>M$ allora $\frac{x^{3/2}}{e^x}<\frac{1}{x^2}$. Perciò, per monotonia dell'integrale, è $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x}\text{d}x<\int_M^{+\infty} \frac{1}{x^2} \text{d}x$. Dato che $\int_M^{+\infty} \frac{1}{x^2} \text{d}x$ converge, per confronto (quello non asintotico) converge anche $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x}\text{d}x$. Dato che $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x}\text{d}x$ converge, per confronto asintotico converge anche $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x-1-\sin x}\text{d}x$.
Confermo che il secondo si stima con $\frac{1}{x \ln^{1/2} x}$.
Per l'ultima domanda, per esempio così:
$$\int_{1/2}^1 \frac{1}{x-1}\text{d}x=\int_{1-1/2}^1 \frac{1}{-(1-x)}\text{d}x=-\int_1^{1-1/2} \frac{1}{|x-1|^1}\text{d}x$$
Perciò $\delta=-1/2$, $\alpha=1$ e $x_0=1$; quindi, diverge a $-\infty$ perché $\alpha=1$. Se l'estremo di integrazione non è $x_0$ semplicemente o non è improprio o, se l'intervallo contiene $x_0$ ma $x_0$ non è un suo estremo, lo spezzi in due integrali che hanno come estremo $x_0$. Comunque, il punto è che andare avanti a schemi non ti permette di imparare criticamente: quegli integrali sono "notevoli" perché si integrano esplicitamente. Se anche qualcosa non è perfettamente uguale a essi ma è simile (e quindi, si può integrare), integra e basta. Non rischiare di bloccarti perché: "Non è uguale a quello che c'è sullo schema", ti ripeto che gli integrali notevoli non sono altro che funzioni di cui si riesce a calcolare esplicitamente l'integrale e che escono fuori spesso. Ma, alla fine, l'idea è la solita di confrontare funzioni integrande complicate con cose che sai integrare esplicitamente; quindi, basati su questo se hai dubbi.
Era un typo, intendevo $\frac{x^{3/2}}{e^x}$; scusami. No, non uso stime asintotiche a quel punto: tu hai dimostrato che per $x \to +\infty$ l'integranda si comporta come $\frac{x^{3/2}}{e^x}$. Ora, hai che $x^2 \frac{x^{3/2}}{e^x} \to 0$ per $x \to +\infty$ e perciò, per definizione di limite, per ogni $\epsilon>0$ esiste $M_{\epsilon}>0$ tale che per ogni $x\in\mathbb{R}$, se $x>M_\epsilon$ allora $|x^2 \frac{x^{3/2}}{e^x}|<\epsilon$. Per l'arbitrarietà di $\epsilon>0$, possiamo fissare $\epsilon=1$ e successivamente dividere per $x^2$ ottenendo che esiste $M>0$ tale che per ogni $x\in\mathbb{R}$, se $x>M$ allora $\frac{x^{3/2}}{e^x}<\frac{1}{x^2}$. Perciò, per monotonia dell'integrale, è $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x}\text{d}x<\int_M^{+\infty} \frac{1}{x^2} \text{d}x$. Dato che $\int_M^{+\infty} \frac{1}{x^2} \text{d}x$ converge, per confronto (quello non asintotico) converge anche $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x}\text{d}x$. Dato che $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x}\text{d}x$ converge, per confronto asintotico converge anche $\int_{M}^{+\infty} \frac{x^{3/2}}{e^x-1-\sin x}\text{d}x$.
Confermo che il secondo si stima con $\frac{1}{x \ln^{1/2} x}$.
Per l'ultima domanda, per esempio così:
$$\int_{1/2}^1 \frac{1}{x-1}\text{d}x=\int_{1-1/2}^1 \frac{1}{-(1-x)}\text{d}x=-\int_1^{1-1/2} \frac{1}{|x-1|^1}\text{d}x$$
Perciò $\delta=-1/2$, $\alpha=1$ e $x_0=1$; quindi, diverge a $-\infty$ perché $\alpha=1$. Se l'estremo di integrazione non è $x_0$ semplicemente o non è improprio o, se l'intervallo contiene $x_0$ ma $x_0$ non è un suo estremo, lo spezzi in due integrali che hanno come estremo $x_0$. Comunque, il punto è che andare avanti a schemi non ti permette di imparare criticamente: quegli integrali sono "notevoli" perché si integrano esplicitamente. Se anche qualcosa non è perfettamente uguale a essi ma è simile (e quindi, si può integrare), integra e basta. Non rischiare di bloccarti perché: "Non è uguale a quello che c'è sullo schema", ti ripeto che gli integrali notevoli non sono altro che funzioni di cui si riesce a calcolare esplicitamente l'integrale e che escono fuori spesso. Ma, alla fine, l'idea è la solita di confrontare funzioni integrande complicate con cose che sai integrare esplicitamente; quindi, basati su questo se hai dubbi.
"Mephlip":
Era un typo, intendevo $\frac{x^{3/2}}{e^x}$; scusami.
Figurati!
Ora mi è tutto chiaro
"Mephlip":
Comunque, il punto è che andare avanti a schemi non ti permette di imparare criticamente[...]
Chiaro non cercavo uno schema, è che proprio non sapevo come muovermi e volevo capire cosa fare e cosa si potesse fare. Seguirò i tuoi consigli.
Grazie ancora!
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