Esercizi spazi metrici.
Questi sono semplici, ma li metto solo per risolvere delle ambiguità. Quindi chiedo se le soluzioni sono giuste.
I seguenti spazi metrici sono chiusi, limitati, non vuoti?
1 - $E=nnn_{n=1}^(+oo)(-1/n,0)$.
Sintetizzando dovrebbe venire: '' $E=[0,0)=varphi$ '', che è sia aperto che chiuso e limitato.
2 - $E=nnn_{n=1}^(+oo)[n^3,+oo)$.
'' $E$ '' non è vuoto, poiché intersezione di infiniti chiusi.
$AAk>0,EEn:n^3>k$. Quindi ogni '' $k$ '' definito non è elemento dell'intersezione. Siccome '' $[n^3,+oo)sup[(n+1)^3,+oo)$ '',
allora '' $E$ '' è un punto che si trova a '' $+oo$ ''. Quindi '' $diamE=0$ '', da cui '' $E$ '' limitato.
'' $E'=varphisubE$ '' da cui '' $E$ '' chiuso.
Questo è quanto.
I seguenti spazi metrici sono chiusi, limitati, non vuoti?
1 - $E=nnn_{n=1}^(+oo)(-1/n,0)$.
Sintetizzando dovrebbe venire: '' $E=[0,0)=varphi$ '', che è sia aperto che chiuso e limitato.
2 - $E=nnn_{n=1}^(+oo)[n^3,+oo)$.
'' $E$ '' non è vuoto, poiché intersezione di infiniti chiusi.
$AAk>0,EEn:n^3>k$. Quindi ogni '' $k$ '' definito non è elemento dell'intersezione. Siccome '' $[n^3,+oo)sup[(n+1)^3,+oo)$ '',
allora '' $E$ '' è un punto che si trova a '' $+oo$ ''. Quindi '' $diamE=0$ '', da cui '' $E$ '' limitato.
'' $E'=varphisubE$ '' da cui '' $E$ '' chiuso.
Questo è quanto.
Risposte
Nel secondo esercizio \(E\) è vuoto.
Infatti, per ogni \(x\in \mathbb{R}\), esiste un \(\nu\in \mathbb{N}\) tale che \(x\leq \nu <\nu^3\), sicché \(x\notin [\nu^3,\infty[\) ed a fortiori \(x\notin E\).
Infatti, per ogni \(x\in \mathbb{R}\), esiste un \(\nu\in \mathbb{N}\) tale che \(x\leq \nu <\nu^3\), sicché \(x\notin [\nu^3,\infty[\) ed a fortiori \(x\notin E\).
Ti ringrazio. 
- Il primo esercizio, allora, lo considero esatto. Anche se va corretta la svista sulla parentesi: $E=(0,0)=varphi$.
- Nel secondo esercizio mi ha portato alla confusione il seguente teorema: se ci sono dei compatti '' $E$ '' tali che '' $E_1supE_2sup...$ '', la loro intersezione non è nulla. Peccato che nell'esercizio non sono compatti, ma chiusi e basta.
Avrei due domandine.
- Allora andava bene fermare la mia dimostrazione qui?:
Dopo ho sbagliato, ma qui dimostrava che '' $E$ '' era vuoto.
- L'insieme vuoto è sia chiuso che aperto e c'è un teorema che afferma quanto segue: l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso. In questo caso continua ad essere rispettato il teorema? Penso di sì, in quanto è vero che '' $varphi$ '' è aperto, ma è anche chiuso e in quanto tale rispetta il teorema citato.
- Il primo esercizio, allora, lo considero esatto. Anche se va corretta la svista sulla parentesi: $E=(0,0)=varphi$.
- Nel secondo esercizio mi ha portato alla confusione il seguente teorema: se ci sono dei compatti '' $E$ '' tali che '' $E_1supE_2sup...$ '', la loro intersezione non è nulla. Peccato che nell'esercizio non sono compatti, ma chiusi e basta.
Avrei due domandine.
- Allora andava bene fermare la mia dimostrazione qui?:
$ AAk>0,EEn:n^3>k $. Quindi ogni '' $k$ '' definito non è elemento dell'intersezione.
Dopo ho sbagliato, ma qui dimostrava che '' $E$ '' era vuoto.
- L'insieme vuoto è sia chiuso che aperto e c'è un teorema che afferma quanto segue: l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso. In questo caso continua ad essere rispettato il teorema? Penso di sì, in quanto è vero che '' $varphi$ '' è aperto, ma è anche chiuso e in quanto tale rispetta il teorema citato.
"_GaS_":Non è un teorema, ma la definizione di spazio topologico per insiemi chiusi!
...
- L'insieme vuoto è sia chiuso che aperto e c'è un teorema che afferma quanto segue: l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso. In questo caso continua ad essere rispettato il teorema? Penso di sì, in quanto è vero che '' $ varphi $ '' è aperto, ma è anche chiuso e in quanto tale rispetta il teorema citato.
Per completezza, entrambe le definizioni di spazio topologico per insiemi aperti o chiusi richiedono che l'insieme vuoto \(\displaystyle\emptyset\) e lo spazio ambiente siano contemporaneamente aperti e chiusi.
Ricordati di queste cose; altrimenti, precedendo i tempi, potrai giungere all'errata conclusione che ogni spazio topologico sia sconnesso.
Ti ringrazio @j18eos.
Comunque nel mio libro lo tratta come un un teorema, con dimostrazione. Prima si occupa degli aperti ( gli enunciati non li riporto tali e quali, ma giusto per intenderci ):
- Abbiamo una famiglia di sottoinsiemi aperti. L'unione di tali sottoinsiemi è un aperto. Se la famiglia è finita l'intersezione è un aperto.
- Abbiamo una famiglia di sottoinsiemi chiusi. L'intersezione di tali sottoinsiemi è un chiuso. Se la famiglia è finita l'unione è un chiuso.
L'ultimo si dimostra passando ai complementari. Probabilmente comincia ad essere usato come definizione in un ambito più avanzato.
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