Esercizi serie di Laurent

[robbstark1]

Posto un esercizio per assicurarmi di avere capito come funzionano le serie di Laurent. Mi auguro qualcuno ci dia un'occhiata per dirmi se faccio bene o se non ci ho capito nulla.

Calcolare la serie di Laurent centrata in $z_0=0$ di $f(z)=1/(z^2+5z+6)$.
Si devono distinguere 3 zone:
1) $|z|<2$
$f(z)=1/(z+2) -1/(z+3) = 1/2 1/(1+z/2) - 1/3 1/(1+z/3) = 1/2 sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (z/2)^n - 1/3 sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (z/3)^n =$
$= sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (1/(2^(n+1)) - 1/(3^(n+1))) z^n$

2) $2<|z|<3$
$f(z)=1/z 1/(1+2/z) - 1/3 sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (z/3)^n = 1/z sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (2/z)^n = sum_{n=-infty}^{-1} (-1)^n (z/2)^n - 1/3 sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (z/3)^n$

3)$|z|>3$
$f(z)=...= sum_{n=-infty}^{-1} (-1)^n (z/2)^n -(z/3)^n = sum_{n=-infty}^{-1} (-1)^n (1/(2^n) - 1/(3^n)) z^n$

[Sk_Anonymous]

"robbstark":
$1/z sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (2/z)^n = sum_{n=-infty}^{-1} (-1)^n (z/2)^n$

Dovresti fare più attenzione a questo passaggio.

[robbstark1]

Dovrebbe essere $(z^n)/(2^(n+1))$.
A parte questo tutto ok?

[Sk_Anonymous]

Immagino che tu intenda questo:

$1/z sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n (2/z)^n = sum_{n=-infty}^{-1} (-1)^(n+1) z^n/2^(n+1)$

In ogni modo, il ragionamento è corretto.

[robbstark1]

Ok, grazie.

[robbstark1]

A sto punto correggo anche la terza serie:
Per $|z|>3$: $f(z)=sum_{n=-infty}^{-1} (-1)^(n+1) (1/(2^(n+1))-1/(3^(n+1))) z^n$.

[robbstark1]

Come mi comporto se non riesco a ricondurmi ad una serie geometrica? Per esempio:

Sviluppare intorno a $z_0=0$ la funzione $f(z)=1/((z-1)^2)$.
Per $|z|<1$ basta lo sviluppo è quello di Mc Laurin, ma per $|z|>1$?
Credo di avere capito mentre scrivo:
$1/(z^2) 1/(1-1/z)^2 = 1/(z^2) * (Mc Lauri n con 1/z al post o di z)$.