Esercizi serie di funzioni
Buonasera a tutti! Volevo riportare qui un esercizio che riguarda due serie di funzioni con alcune domandine annesse. Principalmente volevo mostrarvi il ragionamento da me fatto
Consideriamo le serie di funzioni: a)$\sum_{n=1}^infty arctan(nx^2)/(xn^2)$ b)$\sum_{n=1}^infty arctan(nx)/(x^2+n^2)$
Per a): dimostrare che la serie definisce una funzione $f:(0,+infty) to(0,+infty)$ di classe $C^1$ e calcolare il limite di $f(x)$ per $x to +infty$
Per b): dimostrare che la serie definisce una funzione ben definita e continua su tutto $RR$. $f(x)$ è $C^1$ in $(0,+infty)$? E su tutto $RR$?
Allora per la prima ho cercato una convergenza totale(normale) nelle semirette $[A,+infty]$ con $A>0$, infatti
$f(x)<=pi/2sum_{n=1}^infty 1/(xn^2) <= pi/2sum_{n=1}^infty 1/(An^2)$ da cui la convergenza. Da questo segue la buona definizione(convergenza puntuale) e la continuità(da convergenza uniforme+ A arbitrario). E anche il calcolo del limite poichè vale il teorema di scambio: $\lim_{x \to \+infty}f(x)=sum_{n=1}^infty \lim_{x \to \+infty} arctan(nx^2)/(xn^2)=0$. Per la derivabilità ho cercato di dimostrare la convergenza uniforme della serie delle derivate, ovvero di $\sum_{n=1}^infty (2n^3x^2-n^2(1+n^2x^4)arctan(nx^2))/((1+n^2x^4)(x^2n^4))$ la quale è minore uguale di $\sum_{n=1}^infty (2n^3x^2)/(n^6x^6) <= sum_{n=1}^infty 2/(n^3A^4)$ se come prima prendo le semirette $[A,+infty]$ con $A>0$ (da cui la convergenza totale)
Per la seconda invece la buona definizione e la continuità su $RR$ seguono subito infatti $f(x)<=pi/2sum_{n=1}^infty 1/(n^2) $
Per la derivabilità in $(0,+infty)$ si procede in modo analogo al punto precedente (e che non riporto)
Invece vorrei dimostrare che è falsa l'ultima richiesta, provando a dimostrare che in zero la $f(x)$ non è derivabile:
considero $\lim_{x \to \0^+} f(x)/x=\lim_{x \to \0^+} sum_{n=1}^infty arctan(nx)/(x(x^2+n^2))$. Ora esiste una costante $C>0$ tale che $arctan(nx)>C(nx)$ per $nx<1$, da cui la mia serie è maggiore uguale di: $sum_{n=1}^infty C(nx)/(x(x^2+n^2))=sum_{n=1}^infty C(n)/((x^2+n^2))$ la quale si vede(non difficilmente) che va $+infty$ per $x to 0^+$, da cui per confronto $\lim_{x \to \0^+} f(x)/x=+infty$
I miei ragionamenti scritti un po' velocemente vi convincono? Mi scuso per la lunghezza del messaggio xD
Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno intervenire
Consideriamo le serie di funzioni: a)$\sum_{n=1}^infty arctan(nx^2)/(xn^2)$ b)$\sum_{n=1}^infty arctan(nx)/(x^2+n^2)$
Per a): dimostrare che la serie definisce una funzione $f:(0,+infty) to(0,+infty)$ di classe $C^1$ e calcolare il limite di $f(x)$ per $x to +infty$
Per b): dimostrare che la serie definisce una funzione ben definita e continua su tutto $RR$. $f(x)$ è $C^1$ in $(0,+infty)$? E su tutto $RR$?
Allora per la prima ho cercato una convergenza totale(normale) nelle semirette $[A,+infty]$ con $A>0$, infatti
$f(x)<=pi/2sum_{n=1}^infty 1/(xn^2) <= pi/2sum_{n=1}^infty 1/(An^2)$ da cui la convergenza. Da questo segue la buona definizione(convergenza puntuale) e la continuità(da convergenza uniforme+ A arbitrario). E anche il calcolo del limite poichè vale il teorema di scambio: $\lim_{x \to \+infty}f(x)=sum_{n=1}^infty \lim_{x \to \+infty} arctan(nx^2)/(xn^2)=0$. Per la derivabilità ho cercato di dimostrare la convergenza uniforme della serie delle derivate, ovvero di $\sum_{n=1}^infty (2n^3x^2-n^2(1+n^2x^4)arctan(nx^2))/((1+n^2x^4)(x^2n^4))$ la quale è minore uguale di $\sum_{n=1}^infty (2n^3x^2)/(n^6x^6) <= sum_{n=1}^infty 2/(n^3A^4)$ se come prima prendo le semirette $[A,+infty]$ con $A>0$ (da cui la convergenza totale)
Per la seconda invece la buona definizione e la continuità su $RR$ seguono subito infatti $f(x)<=pi/2sum_{n=1}^infty 1/(n^2) $
Per la derivabilità in $(0,+infty)$ si procede in modo analogo al punto precedente (e che non riporto)
Invece vorrei dimostrare che è falsa l'ultima richiesta, provando a dimostrare che in zero la $f(x)$ non è derivabile:
considero $\lim_{x \to \0^+} f(x)/x=\lim_{x \to \0^+} sum_{n=1}^infty arctan(nx)/(x(x^2+n^2))$. Ora esiste una costante $C>0$ tale che $arctan(nx)>C(nx)$ per $nx<1$, da cui la mia serie è maggiore uguale di: $sum_{n=1}^infty C(nx)/(x(x^2+n^2))=sum_{n=1}^infty C(n)/((x^2+n^2))$ la quale si vede(non difficilmente) che va $+infty$ per $x to 0^+$, da cui per confronto $\lim_{x \to \0^+} f(x)/x=+infty$
I miei ragionamenti scritti un po' velocemente vi convincono? Mi scuso per la lunghezza del messaggio xD
Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno intervenire
Risposte
Per la prima(ho sonno e ho pensato solo a questo)
ti do le mie considerazioni, tu hai dimostrato che si ha convergenza sulle semirette, noi vogliamo mostrarlo su tutta la semiretta $RR^> =(0,+infty)$
consideriamo
sappiamo che $|arctan(f(x))|leq|f(x)|,forallx in dom(f)$
e anche che $|arctan(f(x))|leqpi/2,forallx in dom(f)$
usando queste cose possiamo dedurre che
chiaramente se è minore di entrambi $forallx>0,foralln>0$ sarà anche minore del punto di intersezione tra le due funzioni che la maggiorano da qui otteniamo che il punto di intersezione tra le due sarà
dunque il 'valore' di intersezione su sarà $y_n=sqrt((pi)/(2n^3))$
Quindi in poche parole abbiamo solo provato che
Comunque $|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqsqrt((pi)/(2n^3))$ e la serie $sqrt(pi/2)*sum_(k=1)^(infty)1/(n^(3/2))$ converge[nota]serie armonica generalizzata di ragione $>1$[/nota]
dunque la serie converge totalmente tutto $(0,+infty)$ come volevasi dimostrare.
Per il resto chiaramente
e si conclude.
ti ho mostrato questo perché il fatto che converga su ogni semiretta $[A,+infty)$ con $A>0$ non implica che converga su $(0,+infty)$ di fatto basta considerare la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ che converge uniformemente su ogni compatto del tipo $[-a,a]$ con $0
ti do le mie considerazioni, tu hai dimostrato che si ha convergenza sulle semirette, noi vogliamo mostrarlo su tutta la semiretta $RR^> =(0,+infty)$
consideriamo
$s_n(x)=sum_(k=1)^(n)arctan(nx^2)/(xn^2)$
sappiamo che $|arctan(f(x))|leq|f(x)|,forallx in dom(f)$
e anche che $|arctan(f(x))|leqpi/2,forallx in dom(f)$
usando queste cose possiamo dedurre che
$|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqmin{ |x|/n , (pi)/(2|x|n^2) }$
chiaramente se è minore di entrambi $forallx>0,foralln>0$ sarà anche minore del punto di intersezione tra le due funzioni che la maggiorano da qui otteniamo che il punto di intersezione tra le due sarà
$(|x|)/n= (pi)/(2|x|n^2) <=> |x|=sqrt((pi)/(2n))$
dunque il 'valore' di intersezione su sarà $y_n=sqrt((pi)/(2n^3))$
Quindi in poche parole abbiamo solo provato che
$|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqmin{(|x|)/n,pi/(2|x|n^2)}leqsqrt((pi)/(2n^3))$
Comunque $|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqsqrt((pi)/(2n^3))$ e la serie $sqrt(pi/2)*sum_(k=1)^(infty)1/(n^(3/2))$ converge[nota]serie armonica generalizzata di ragione $>1$[/nota]
dunque la serie converge totalmente tutto $(0,+infty)$ come volevasi dimostrare.
Per il resto chiaramente
$lim_(x->+infty)[lim_(n->+infty)s_n(x)]=lim_(n->+infty)[lim_(x->+infty)s_n(x)]$
e si conclude.
ti ho mostrato questo perché il fatto che converga su ogni semiretta $[A,+infty)$ con $A>0$ non implica che converga su $(0,+infty)$ di fatto basta considerare la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ che converge uniformemente su ogni compatto del tipo $[-a,a]$ con $0
Intanto grazie per la risposta.
Nel primo infatti sono consapevole che ho dimostrato la convergenza uniforme solo nelle semirette $[A,+infty]$ con $A$ strettamente maggiore di zero e non in $(0,+infty)$. Ma dovrebbe bastarmi per dimostrare la continuità in $(0,+infty)$ essendo $A>0$ arbitrario(lo dico super intuitivamente "la continuità la posso rincollare")
La tua idea però è utile per dimostrare la uniforme convergenza in $(0,+infty)$...magari può essere carino chiedere quanto vale il limite a $0^+$ allora sì...lì serve la convergenza uniforme per poter scambiare e il tuo ragionamento potrebbe essere utile
Nel primo infatti sono consapevole che ho dimostrato la convergenza uniforme solo nelle semirette $[A,+infty]$ con $A$ strettamente maggiore di zero e non in $(0,+infty)$. Ma dovrebbe bastarmi per dimostrare la continuità in $(0,+infty)$ essendo $A>0$ arbitrario(lo dico super intuitivamente "la continuità la posso rincollare")
La tua idea però è utile per dimostrare la uniforme convergenza in $(0,+infty)$...magari può essere carino chiedere quanto vale il limite a $0^+$ allora sì...lì serve la convergenza uniforme per poter scambiare e il tuo ragionamento potrebbe essere utile
La derivata della seconda se non sbaglio in zero non converge nemmeno puntualmente quindi direi che su tutti i reali non può davvero essere $ C^1 $.
Per quanto riguarda la prima c'è effettivamente uniforme convergenza su tutto $ [0, +oo] $ e quindi puoi scambiare il limite.
La dimostrazione di anto_zoolander di spezzare la zona in due parti sfruttando le due stime dell'arcotangente è la stessa fornita dall'autore di questo esercizio (modulo qualche piccola differenza, ma l'idea è quella),noto professore di un corso di analisi 2 di questo anno
Per quanto riguarda la prima c'è effettivamente uniforme convergenza su tutto $ [0, +oo] $ e quindi puoi scambiare il limite.
La dimostrazione di anto_zoolander di spezzare la zona in due parti sfruttando le due stime dell'arcotangente è la stessa fornita dall'autore di questo esercizio (modulo qualche piccola differenza, ma l'idea è quella),noto professore di un corso di analisi 2 di questo anno
Bene...allora ci siamo.
Una sola cosa però...il ragionamento di @anto_zoolander serve per dimostrare la convergenza uniforme in $[0,+infty]$; il mio credo che basti per dimostrare la continuità in $(0,+infty)$ o sbaglio?
Una sola cosa però...il ragionamento di @anto_zoolander serve per dimostrare la convergenza uniforme in $[0,+infty]$; il mio credo che basti per dimostrare la continuità in $(0,+infty)$ o sbaglio?
Non capisco perché ti accanisci con $[0,+infty)$ quando nessuna $s_n(x)$ è definita in $x=0$
Io ti ho mostrato che la successione di funzioni continue $s_n(x)$ convergente uniformemente in $(0,+infty)$ ad una funzione $s(x)$ e sotto queste ipotesi la funzione $s(x)$ è necessariamente continua in $(0,+infty)$
Questo viene dal fatto che lo spazio delle funzioni continue $C(RR^J)$ è chiuso in $RR^J$ rispetto alla sup-norma.
Tu hai dimostrato soltanto che la convergenza sia uniforme su semirette $[a,+infty)$ con $a>0$ ma questo non ti garantisce che la convergenza sia uniforme anche su $(0,+infty)$ e ti ho mostrato pure un esempio.
Inoltre hai mostrato che convergendo uniformemente su quelle semirette, essendo le $s_n$ continue su ogni semiretta deve convergere uniformemente a una funzione continua su $(a,+infty)$ ma questo non ti garantisce nè che converga a una funzione continua su $(0,+infty)$ nè che vi converga uniformemente(cosa che implicherebbe la continuità della funzione limite)
Infatti, ripeto, che $f_n(x)=x^n$ converge uniformemente su tutto $[0,a)$ con $0
È chiaro che se la successione converge uniformemente ad una funzione, vi convergerà anche puntualmente e se tale convergenza è uniforme allora il limite sarà una funzione continua, chiaramente la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ tende puntualmente a una funzione discontinua
Dunque sicuramente non può convergervi uniformemente, perché se così fosse $f$ sarebbe continua.
Quindi come vedi non è sufficiente che converga su ogni ‘pezzo’ di intervallo per concludere.
Io ti ho mostrato che la successione di funzioni continue $s_n(x)$ convergente uniformemente in $(0,+infty)$ ad una funzione $s(x)$ e sotto queste ipotesi la funzione $s(x)$ è necessariamente continua in $(0,+infty)$
Questo viene dal fatto che lo spazio delle funzioni continue $C(RR^J)$ è chiuso in $RR^J$ rispetto alla sup-norma.
Tu hai dimostrato soltanto che la convergenza sia uniforme su semirette $[a,+infty)$ con $a>0$ ma questo non ti garantisce che la convergenza sia uniforme anche su $(0,+infty)$ e ti ho mostrato pure un esempio.
Inoltre hai mostrato che convergendo uniformemente su quelle semirette, essendo le $s_n$ continue su ogni semiretta deve convergere uniformemente a una funzione continua su $(a,+infty)$ ma questo non ti garantisce nè che converga a una funzione continua su $(0,+infty)$ nè che vi converga uniformemente(cosa che implicherebbe la continuità della funzione limite)
Infatti, ripeto, che $f_n(x)=x^n$ converge uniformemente su tutto $[0,a)$ con $0
È chiaro che se la successione converge uniformemente ad una funzione, vi convergerà anche puntualmente e se tale convergenza è uniforme allora il limite sarà una funzione continua, chiaramente la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ tende puntualmente a una funzione discontinua
$f(x)={(1 if x=1),(0 if x in[0,1)):}$
Dunque sicuramente non può convergervi uniformemente, perché se così fosse $f$ sarebbe continua.
Quindi come vedi non è sufficiente che converga su ogni ‘pezzo’ di intervallo per concludere.
Intanto grazie per la pazienza e per le tue risposte. Forse non ci stiamo capendo tra noi o io non ho capito nulla(forse molto più probabile xD). Sto seguendo in rete qualcosa di analisi 2 e in particolare guarda qui http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Tablet/AM2_18/AM2_18_L092.pdf l'esempio 2. Non è molto simile alla nostra diatriba?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo