Esercizi serie di funzioni

nick_10
Buonasera a tutti! Volevo riportare qui un esercizio che riguarda due serie di funzioni con alcune domandine annesse. Principalmente volevo mostrarvi il ragionamento da me fatto
Consideriamo le serie di funzioni: a)$\sum_{n=1}^infty arctan(nx^2)/(xn^2)$ b)$\sum_{n=1}^infty arctan(nx)/(x^2+n^2)$
Per a): dimostrare che la serie definisce una funzione $f:(0,+infty) to(0,+infty)$ di classe $C^1$ e calcolare il limite di $f(x)$ per $x to +infty$
Per b): dimostrare che la serie definisce una funzione ben definita e continua su tutto $RR$. $f(x)$ è $C^1$ in $(0,+infty)$? E su tutto $RR$?

Allora per la prima ho cercato una convergenza totale(normale) nelle semirette $[A,+infty]$ con $A>0$, infatti
$f(x)<=pi/2sum_{n=1}^infty 1/(xn^2) <= pi/2sum_{n=1}^infty 1/(An^2)$ da cui la convergenza. Da questo segue la buona definizione(convergenza puntuale) e la continuità(da convergenza uniforme+ A arbitrario). E anche il calcolo del limite poichè vale il teorema di scambio: $\lim_{x \to \+infty}f(x)=sum_{n=1}^infty \lim_{x \to \+infty} arctan(nx^2)/(xn^2)=0$. Per la derivabilità ho cercato di dimostrare la convergenza uniforme della serie delle derivate, ovvero di $\sum_{n=1}^infty (2n^3x^2-n^2(1+n^2x^4)arctan(nx^2))/((1+n^2x^4)(x^2n^4))$ la quale è minore uguale di $\sum_{n=1}^infty (2n^3x^2)/(n^6x^6) <= sum_{n=1}^infty 2/(n^3A^4)$ se come prima prendo le semirette $[A,+infty]$ con $A>0$ (da cui la convergenza totale)

Per la seconda invece la buona definizione e la continuità su $RR$ seguono subito infatti $f(x)<=pi/2sum_{n=1}^infty 1/(n^2) $
Per la derivabilità in $(0,+infty)$ si procede in modo analogo al punto precedente (e che non riporto)
Invece vorrei dimostrare che è falsa l'ultima richiesta, provando a dimostrare che in zero la $f(x)$ non è derivabile:
considero $\lim_{x \to \0^+} f(x)/x=\lim_{x \to \0^+} sum_{n=1}^infty arctan(nx)/(x(x^2+n^2))$. Ora esiste una costante $C>0$ tale che $arctan(nx)>C(nx)$ per $nx<1$, da cui la mia serie è maggiore uguale di: $sum_{n=1}^infty C(nx)/(x(x^2+n^2))=sum_{n=1}^infty C(n)/((x^2+n^2))$ la quale si vede(non difficilmente) che va $+infty$ per $x to 0^+$, da cui per confronto $\lim_{x \to \0^+} f(x)/x=+infty$
I miei ragionamenti scritti un po' velocemente vi convincono? Mi scuso per la lunghezza del messaggio xD
Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno intervenire ;)

Risposte
anto_zoolander
Per la prima(ho sonno e ho pensato solo a questo)

ti do le mie considerazioni, tu hai dimostrato che si ha convergenza sulle semirette, noi vogliamo mostrarlo su tutta la semiretta $RR^> =(0,+infty)$

consideriamo
$s_n(x)=sum_(k=1)^(n)arctan(nx^2)/(xn^2)$

sappiamo che $|arctan(f(x))|leq|f(x)|,forallx in dom(f)$
e anche che $|arctan(f(x))|leqpi/2,forallx in dom(f)$

usando queste cose possiamo dedurre che

$|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqmin{ |x|/n , (pi)/(2|x|n^2) }$


chiaramente se è minore di entrambi $forallx>0,foralln>0$ sarà anche minore del punto di intersezione tra le due funzioni che la maggiorano da qui otteniamo che il punto di intersezione tra le due sarà

$(|x|)/n= (pi)/(2|x|n^2) <=> |x|=sqrt((pi)/(2n))$


dunque il 'valore' di intersezione su sarà $y_n=sqrt((pi)/(2n^3))$



Quindi in poche parole abbiamo solo provato che

$|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqmin{(|x|)/n,pi/(2|x|n^2)}leqsqrt((pi)/(2n^3))$


Comunque $|arctan(nx^2)/(xn^2)|leqsqrt((pi)/(2n^3))$ e la serie $sqrt(pi/2)*sum_(k=1)^(infty)1/(n^(3/2))$ converge[nota]serie armonica generalizzata di ragione $>1$[/nota]

dunque la serie converge totalmente tutto $(0,+infty)$ come volevasi dimostrare.

Per il resto chiaramente

$lim_(x->+infty)[lim_(n->+infty)s_n(x)]=lim_(n->+infty)[lim_(x->+infty)s_n(x)]$

e si conclude.

ti ho mostrato questo perché il fatto che converga su ogni semiretta $[A,+infty)$ con $A>0$ non implica che converga su $(0,+infty)$ di fatto basta considerare la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ che converge uniformemente su ogni compatto del tipo $[-a,a]$ con $0

nick_10
Intanto grazie per la risposta.
Nel primo infatti sono consapevole che ho dimostrato la convergenza uniforme solo nelle semirette $[A,+infty]$ con $A$ strettamente maggiore di zero e non in $(0,+infty)$. Ma dovrebbe bastarmi per dimostrare la continuità in $(0,+infty)$ essendo $A>0$ arbitrario(lo dico super intuitivamente "la continuità la posso rincollare")

La tua idea però è utile per dimostrare la uniforme convergenza in $(0,+infty)$...magari può essere carino chiedere quanto vale il limite a $0^+$ allora sì...lì serve la convergenza uniforme per poter scambiare e il tuo ragionamento potrebbe essere utile

polveregoz
La derivata della seconda se non sbaglio in zero non converge nemmeno puntualmente quindi direi che su tutti i reali non può davvero essere $ C^1 $.

Per quanto riguarda la prima c'è effettivamente uniforme convergenza su tutto $ [0, +oo] $ e quindi puoi scambiare il limite.

La dimostrazione di anto_zoolander di spezzare la zona in due parti sfruttando le due stime dell'arcotangente è la stessa fornita dall'autore di questo esercizio (modulo qualche piccola differenza, ma l'idea è quella),noto professore di un corso di analisi 2 di questo anno

nick_10
Bene...allora ci siamo.
Una sola cosa però...il ragionamento di @anto_zoolander serve per dimostrare la convergenza uniforme in $[0,+infty]$; il mio credo che basti per dimostrare la continuità in $(0,+infty)$ o sbaglio?

anto_zoolander
Non capisco perché ti accanisci con $[0,+infty)$ quando nessuna $s_n(x)$ è definita in $x=0$

Io ti ho mostrato che la successione di funzioni continue $s_n(x)$ convergente uniformemente in $(0,+infty)$ ad una funzione $s(x)$ e sotto queste ipotesi la funzione $s(x)$ è necessariamente continua in $(0,+infty)$

Questo viene dal fatto che lo spazio delle funzioni continue $C(RR^J)$ è chiuso in $RR^J$ rispetto alla sup-norma.

Tu hai dimostrato soltanto che la convergenza sia uniforme su semirette $[a,+infty)$ con $a>0$ ma questo non ti garantisce che la convergenza sia uniforme anche su $(0,+infty)$ e ti ho mostrato pure un esempio.

Inoltre hai mostrato che convergendo uniformemente su quelle semirette, essendo le $s_n$ continue su ogni semiretta deve convergere uniformemente a una funzione continua su $(a,+infty)$ ma questo non ti garantisce nè che converga a una funzione continua su $(0,+infty)$ nè che vi converga uniformemente(cosa che implicherebbe la continuità della funzione limite)

Infatti, ripeto, che $f_n(x)=x^n$ converge uniformemente su tutto $[0,a)$ con $0
È chiaro che se la successione converge uniformemente ad una funzione, vi convergerà anche puntualmente e se tale convergenza è uniforme allora il limite sarà una funzione continua, chiaramente la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ tende puntualmente a una funzione discontinua

$f(x)={(1 if x=1),(0 if x in[0,1)):}$


Dunque sicuramente non può convergervi uniformemente, perché se così fosse $f$ sarebbe continua.
Quindi come vedi non è sufficiente che converga su ogni ‘pezzo’ di intervallo per concludere.

nick_10
Intanto grazie per la pazienza e per le tue risposte. Forse non ci stiamo capendo tra noi o io non ho capito nulla(forse molto più probabile xD). Sto seguendo in rete qualcosa di analisi 2 e in particolare guarda qui http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Tablet/AM2_18/AM2_18_L092.pdf l'esempio 2. Non è molto simile alla nostra diatriba?

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