Esercizi Serie

[Maryse1]

1. Dire per quali $x in R$ la seguente serie converge:

$ sum_(n = 1)^∞ (n!)/n^sqrt(n) (3cosx-1)^n $

Allora questa ho provato a svolgerla così:
Poichè non è una serie a termini positivi, studio l'assoluta convergenza ovvero:

$ sum_(n = 1)^∞ (n!)/n^sqrt(n) |3cosx-1|^n $

ora, dato che questa è una serie a termini positivi, posso applicare uno dei vari criteri..io ho provato col criterio del confronto dicendo che:
$ (n!)/n^sqrt(n) |3cosx-1|^n <= (n!)/n^sqrt(n)(2)^n $

a quest'ultima poi ho applicato il criterio della radice per dimostrare che converge..e dunque la serie convergerebbe per ogni x. E' sbagliato qualcosa?..perchè non sono molto sicura dei passaggi..

Il secondo.

2. Dire per quali $ x in (-2, +∞)$ la serie converge:

$ sum_(n = 1) ^∞ (-1)^n/sqrt(n) (n^(2n)/(x+2)^n+x^(2n)/2^n) $

Allora io per prima cosa ho diviso la serie in

$ sum_(n = 1) ^∞ (-1)^n/sqrt(n) n^(2n)/(x+2)^n+ sum_(n = 1) ^∞ (-1)^n/sqrt(n)x^(2n)/2^n $

da qui ho studiato l'assoluta convergenza di entrambe, ed ho applicato il criterio della radice alle serie dei valori assoluti .. trovato il risultato dei limiti, ponendo questi <1 trovo i valori della x per cui la serie converge.. E' esatto?
chiedo solo conferme visto che sono senza soluzioni

[Zero87]

"Maryse":$ (n!)/n^sqrt(n) |3cosx-1|^n <= (n!)/n^sqrt(n)(2)^n $

E' molto utile che alleni la vista e ti giostri con le disuguaglianze, ma fai un pochino di attenzione.
Per es., se $x=\pi$ ottieni nel valore assoluto
$|3 cos(\pi)-1|^n= |-3-1|^n = 4^n$ che è maggiore di $2^n$.

Comunque, a parte questo, in tutte utilizzerei il solito metodo "indico $"sgorbio"=y$ per ricondurmi ad una classica serie di potenze".

Nella prima, ad es., $y=3cos(x)-1$ in modo che studio
$\sum_(n=1)^\infty \frac{n!}{n^(\sqrt(n))}y^n$
che a meno che non ho sbagliato i calcoli non converge (avevo un certo sospetto approssimando $n!$ con Stirling).
Con gergo più tecnico, vuol dire che converge solo per $y=0$ cioè per $3cos(x)-1=0$...

Per le altre comunque farei lo stesso perché anche se la sostituzione può sembrare un procedimento "banale" - nel senso che ti potresti sentir dire "guarda, come i ragazzi delle superiori, deve chiamare $y=...$ perché non lo vede il senso - almeno non sbagli sicuro. Poi, certo, una volta che hai manualità puoi tranquillamente lasciare perdere tutto.

Comunque per la seconda passo la palla che mi sto incartando con i calcoli...

[valerio cavolaccio]

Riguardo la prima serie io ho applicato il criterio del rapporto e ho calcolato:
$lim_{n\rightarrow\infty}frac{(n+1)!2^{n+1}}{(n+1)^{sqrt(n+1)}}*frac{n!2^n}{n^sqrt(n)} =$
$2 lim_{n\rightarrow\infty}frac{n^sqrt(n)}{(n+1)^{sqrt(n+1)-1}}$
poi ho definito $m=sqrt(n)$ per cui:
$frac{n^{sqrt(n)}}{(n+1)^{sqrt(n+1)-1}}=frac{m^{2m}}{(m^{2}+1)^{sqrt(m^{2}+1)}}(m^{2}+1) $ ora chiamo $k=m^{2}+1$ e l'argomento diventa:
$frac{k(k-1)^{sqrt(k-1)}}{k^{sqrt(k)}}$ e $lim_{k\rightarrow\infty}frac{k(k-1)^{sqrt(k-1)}}{k^{sqrt(k)}}=\infty$ quindi la serie:
$\sum_{n=1}^{\infty}frac{n!2^{n}}{n^{sqrt(n)}}$ non converge.
Però questo significa che hai maggiorato una serie con una che converge e quindi non possiamo dire nulla riguardo la serie da cui sei partita.
In generale è proprio il modulo della serie che non converge.
Adesso se chiamo $y=3cos(x)-1$ si ha che $y\in[-4,2]$ secondo ora conviene applicare il criterio di Leibniz poiché la successione $a_{n}=frac{n!}{n^{sqrt(n)}}$ è infinitesima, quindi quando $y<0$ la serie converge.
Per quanto riguarda la seconda serie se chiamo $S_{1}$ e $S_{2}$ i pezzi in cui l'hai separata tu si può vedere che:
$S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty}frac{(-1)^{n}}{sqrt(n)}frac{n^{2n}}{(x+2)^{n}}$ non converge assolutamente infatti applicando il criterio del rapporto si ha:
$frac{(n+1)^{2(n+1)}}{sqrt(n+1)(x+2)^{n+1}}frac{sqrt(n)(x+2)^{n}}{n^{2n}} $
$=frac{1}{x+2}(1+1/n)^{2n}(n+1)^{2}sqrt(frac{n}{n+1})\rightarrow\infty $ quindi non converge per nessun $x\in (-2,\infty)$.
per quanto riguarda $|S_{2}|=\sum_{n=1}^{\infty}frac{x^{2n}}{sqrt(n)2^{n}}$ sempre applicando il criterio del rapporto trovo che converge quando $frac{x^{2}}{2}<1$
secondo me, se non ho fatto errori, la serie $S_{1}$ non dovrebbe convergere per nessun x anche perché qualitativamente al numeratore hai una cosa che cresce come $n^{2n}$ mentre al denominatore per quanto x possa essere grande non riesce a fermare la crescita del numeratore anche considerando il termine $(-1)^{n}$.

[Maryse1]

Ora riprovo a fare i calcoli anche io che mi sto impicciando...poi vedo se mi vengono uguali, e stasera quando mi connetto vi dico xD grazie intanto dell'aiuto

[Maryse1]

Non uccidetemi, ma mi sono accorta che ho fatto due piccoli errori copiando il testo degli esercizi sul primo post ç_ç
Comunque, per la prima serie al posto di $n^(2n)$ erano entrambi $x^(2n)$..lo svolgimento tuttavia, l'ho fatto come scritto sopra, ovvero ho diviso la serie in due ed applicato il criterio della radice alle serie dei valori assoluti, trovandomi per la seconda la stessa condizione tua, cioè $x^2<2$ e per la prima $-1
Sulla seconda invece di $ (n!)/n^sqrt(n) $ era solamente $ (n!)/n^(n) $. Comunque, qui ho svolto l'esercizio come avete detto voi. Ho posto y= 3cosx -1 e quindi la serie dei valori assoluti mi rimane:

$ sum_(n = 1) ^∞ (n!)/n^n |y|^n $

a questa, essendo a termini positivi, posso applicare uno dei criteri di convergenza..ma non sono giunta a conclusioni...
devo farla per forza con Leibniz?

[valerio cavolaccio]

Se la prima serie ha $frac{n!}{n^{n}}$ allora puoi applicare il criterio del rapporto e vedi che:
$lim_{n\rightarrow\infty}frac{(n+1)!|y|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}frac{n^{n}}{n!|y|^{n}}$ ha come limite $|y|/e$ per cui quando $|y|

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[Maryse1]

Ah bene grazie mille!