Esercizi riepilogo analisi 2
Salve a tutti.
Non riesco a capire questi 3 esercizi di analisi 2:
1) Sia $ f(x,y)=x^2-y^3 ,(x,y)inRR^2 $. Trovare, giustificando la risposta, l'immagine $ f(T) $ dell'insieme $ T={(x,y)inRR^2: |x|-1<=y<=1} $
2) Sia $ S $ la superficie di $ RR^3 $ parametrizzata dalla funzione $ phi(t,vartheta )=(t^3cosvartheta )veci+(t^2)vecj+(t^3sinvartheta)veck $ con $ (t,vartheta)in RR x(-pi,pi) $. Scrivere l'equazione del piano tangente ad $ S $ nel punto $ P=phi(1,0) $.
3)Determinare giustificando la risposta, gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione $ f:RR^2->RR $ , $ f(x,y)=x^2+(y-1)^2 $, condizionati al vincolo $ M={(x,y)in RR^":y=x^2} $.
Per il primo la soluzione ce l'ha già data il professore, solo che non riesco a capirla, o almeno, non riesco a capirla tutta.
Dice che $ T $ è chiuso, limitato, compatto, connesso dunque $ f(T) $ è un intervallo chiuso del tipo $ f(T)=[a,b] $. E fin qui mi torna.
Da qui segue che:
$ a=min_Tf= "inf"_(-1<=y<=1)( f(0,y))=min _(-1<=y<=1)(-y^3)=-1 $
$ b=max_Tf=max_(y=|x|+1)f(x,y)=max_(-1<=y<=1)(1+y-y^3) $ da cui facendo la derivata prima $ y=1/sqrt(3) $.
Per cui per calcolare $ b $ prende il $ max (1+1/sqrt(3)-1/(3sqrt(3)),1,3)=3 $. Infine $ f(T)=[1,3] $.
Qualcuno mi può spiegare perchè per calcolare $ a $ e $ b $ si fa in questo modo? Il calcolo di $ a $ mi sembra anche una cosa ragionevole perchè andiamo a cercare il minimo sulle y (tanto la x della funzione è al quadrato), ma non riesco a capire il motivo per cui per calcolare $ b $ ci muoviamo solo sulla retta $ y=|x|+1 $.
Per il secondo volevo sapere se è giusto dire che il piano tangente è $ Tan_PS={(x,y)inRR^2xRR^3:y=phi(1,0)+Dphi(1,0)((x)-(1,0))} $
Per il terzo già studiando le linee di livello si riesce a vedere qualcosa. Comunque parametrizzando il vincolo e studiando i punti di minimo e/o di massimo non riesco a capirci molto.
Grazie in anticipo.
Non riesco a capire questi 3 esercizi di analisi 2:
1) Sia $ f(x,y)=x^2-y^3 ,(x,y)inRR^2 $. Trovare, giustificando la risposta, l'immagine $ f(T) $ dell'insieme $ T={(x,y)inRR^2: |x|-1<=y<=1} $
2) Sia $ S $ la superficie di $ RR^3 $ parametrizzata dalla funzione $ phi(t,vartheta )=(t^3cosvartheta )veci+(t^2)vecj+(t^3sinvartheta)veck $ con $ (t,vartheta)in RR x(-pi,pi) $. Scrivere l'equazione del piano tangente ad $ S $ nel punto $ P=phi(1,0) $.
3)Determinare giustificando la risposta, gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione $ f:RR^2->RR $ , $ f(x,y)=x^2+(y-1)^2 $, condizionati al vincolo $ M={(x,y)in RR^":y=x^2} $.
Per il primo la soluzione ce l'ha già data il professore, solo che non riesco a capirla, o almeno, non riesco a capirla tutta.
Dice che $ T $ è chiuso, limitato, compatto, connesso dunque $ f(T) $ è un intervallo chiuso del tipo $ f(T)=[a,b] $. E fin qui mi torna.
Da qui segue che:
$ a=min_Tf= "inf"_(-1<=y<=1)( f(0,y))=min _(-1<=y<=1)(-y^3)=-1 $
$ b=max_Tf=max_(y=|x|+1)f(x,y)=max_(-1<=y<=1)(1+y-y^3) $ da cui facendo la derivata prima $ y=1/sqrt(3) $.
Per cui per calcolare $ b $ prende il $ max (1+1/sqrt(3)-1/(3sqrt(3)),1,3)=3 $. Infine $ f(T)=[1,3] $.
Qualcuno mi può spiegare perchè per calcolare $ a $ e $ b $ si fa in questo modo? Il calcolo di $ a $ mi sembra anche una cosa ragionevole perchè andiamo a cercare il minimo sulle y (tanto la x della funzione è al quadrato), ma non riesco a capire il motivo per cui per calcolare $ b $ ci muoviamo solo sulla retta $ y=|x|+1 $.
Per il secondo volevo sapere se è giusto dire che il piano tangente è $ Tan_PS={(x,y)inRR^2xRR^3:y=phi(1,0)+Dphi(1,0)((x)-(1,0))} $
Per il terzo già studiando le linee di livello si riesce a vedere qualcosa. Comunque parametrizzando il vincolo e studiando i punti di minimo e/o di massimo non riesco a capirci molto.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Meetmat
faccio fatica a disegnare il dominio $T$, a me viene illimitato, ma evidentemente sbaglio qualcosa.
mi puoi spiegare?
faccio fatica a disegnare il dominio $T$, a me viene illimitato, ma evidentemente sbaglio qualcosa.
mi puoi spiegare?
Ci provo 
.
Il dominio $ T $ è il triangolo di vertici $ (0,-1);(-2,1);(2,1) $ quindi è chiuso, limitato, connesso per archi e compatto.
.Il dominio $ T $ è il triangolo di vertici $ (0,-1);(-2,1);(2,1) $ quindi è chiuso, limitato, connesso per archi e compatto.
Credo di aver capito perchè nel calcolo di b ci muoviamo sulla retta $ y=|x|-1 $ (non y=|x|+1, penso che nelle soluzioni ci sia un errore): il fatto è che il massimo si troverà sicuramente sui bordi del triangolo perchè è li che la x è più grande, resta il fatto che poi i conti non tornino 
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Sugli altri due, nessuno sa dirmi nulla? grazie
.Sugli altri due, nessuno sa dirmi nulla? grazie
up
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