Esercizi ordine di infinitesimo quasi immediati

[Armstrong]

Salve a tutti,dovrei trovare l'ordine di infinitesimo per$ x rarr 0^+ $ di queste funzioni che non ho capito come svolgere.

$f(x)=e^(-1/x)$

$g(x)= x^(1/sqrtx)$

Le soluzioni proposte dal libro sono che non esiste l'ordine di infinitesimo.

[gugo82]

Semplicemente devi rifarti alla definizione di ordine:

Si dice che $f(x)$ è infinitesima in $0$ di ordine $\alpha >0$ se e solo se il:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{|f(x)|}{|x|^\alpha}
\]
esiste finito e $\ne 0$.

Perciò per stabilire l'ordine di infinitesimo ti devi studiare quanto vale il limite:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{|f(x)|}{|x|^\alpha}
\]
in funzione del parametro $\alpha >0$.
Se, per un valore di $\alpha$ il limite viene fuori finito e diverso da zero, la $f$ è infinitesima di ordine $\alpha$.
Altrimenti, $f$ non è dotata di ordine... E questo caso si può verificare in tante diverse situazioni.