Esercizi numeri complessi con parti reali ed immaginarie, coniugati e moduli

[Bellamy99]

Salve, sto svolgendo degli esercizi sulle equazioni di numeri complessi z, tratti da testi d'esame, ma non ho un riscontro essendo i risultati non stati resi noti. Il procedimento che seguo per ogni esercizio è trasformare $ z=x+iy $ il modulo in $ | z| =sqrt(x^2+y^2) $ il coniugato $ bar(z) = x-iy $ , successivamente raccogliere la parte immaginaria y sia a destra che a sinistra del denominatore e porre a sistema le due parti reali e le due parti immaginarie $ { ( Rez1=Rez2 ),( Imz1=Imz2 ):} $ e cosi trovare le soluzioni complesse.
Alcuni esercizi mi danno problemi:
1) $ z^2-2Im(bar(z)+17)+8=0 $

Soluzione: $ x^2-y^2+2y+8+i(2xy)=0 $

Imposto il sistema : $ { ( x^2-y^2+2y+8=0 ),( 2xy=0 ):} $

Dalla seconda ricavo che $ x=0 vv y=0 $

Sostituisco alla prima e ricavo che con $ x=0 $ -> $ y_(1,2) = { ( -2 ),( 4 ):} $

ed ho quindi le prime due soluzioni $ z=-2i vv z=4i $

Sostituisco con $ y=0 $ e non ho soluzioni in quanto il Delta risulta essere negativo.
E' corretto il procedimento? Sono quelle le soluzioni? Grazie per le eventuali risposte.

[mazzarri1]

ciao Simtim

mi sembra tutto corretto avrei fatto così anche io

[Bellamy99]

Grazie mille per la risposta! Avrei un ulteriore domanda: Possiamo affermare che $ | z| ^2=| z^2| $ e in generale che $ | z| ^n=| z^n| $ ? Sui miei appunti ho questa notazione ma mi vengono molti dubbi a riguardo:
Svolgendo con $ z=x+iy $ ho che $ | z^2| = | x^2-y^2+i(2xy)| = sqrt((x^2-y^2)^2+(2xy)^2)=sqrt(x^4+y^4-2x^2y^2+4x^2y^2) $ e mi riconduco quindi al quadrato del binomio, ma questo vale anche per esponenti maggiori di 2?

[Bellamy99]

Qualcuno può aiutarmi riguardo alla domanda scritta sopra?