Esercizi MAtematica.

[BoyScout]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di un favore enorme:
potreste cortesemente aiutarmi nella risoluzione dei seguenti 4 esercizi?
*allego il file

Grazie
Maria Elena
.

[ciampax]

Esercizio 1)
Possiamo riscrivere la funzione (il cui dominio è l'insieme

[math]D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/math]

come

[math]f(x)=R^{12} x^{-12}-R^6 x^{-6}=R^6[R^6 x^{-12}-x^{-6}][/math]

Osserva che

[math]\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0[/math]

mentre

[math]\lim_{x\to 0^{\pm}} f(x)=+\infty[/math]

Ora, derivando si ha

[math]f'(x)=R^6[-12 R^6 x^{-13}+6 x^{-7}]=6 R^6 x^{-13}[-2 R^6+x^6][/math]

Per determinare i punti stazionari, risolviamo l'equazione

[math]f'(x)=0[/math]

: le soluzioni sono

[math]x=\pm\sqrt[6]{2} R[/math]

.
Per verificare se essi siano massimi o mini, calcoliamo la derivata seconda: abbiamo

[math]f''(x)=6 R^6[26 R^6 x^{-14}-7 x^{-8}]=6 R^6 x^{-14}[26 R^6-7 x^6][/math]

Sostituendo i valori dei due punti stazionari si ha

[math]f''(\pm\sqrt[6]{2} R)=6 R^6 R^{-14} 2^{-14/6}[26 R^6-14 R^6]=\frac{24}{\sqrt[6]{4}} R^{-8}\ 12 R^6>0[/math]

e quindi i due punti risultano, entrambi, dei minimi. Dal momento che

[math]f(\pm\sqrt[6]{2} R)=R^12 \frac{1}{4R^{12}}-R^6 \frac{1}{2R^6}=-\frac{1}{4}