Esercizi limiti notevoli
Ho provato a calcolare il lim di x che tende a 0 di:
(Devo usare i limiti notevoli)
$(x^2-|x|)/(sen^2(3x))$
Essendo una forma indeterminata di 0/0 ho cercato di ricondurmi al noto limite notevole:
$(senx)/x = 1$ per x che tende a 0.
Dovrei calcolare sia il limite destro che sinistro dallo 0 perchè c'è il modulo,ma ho notato che facendo:
$(x^2 - x) * ((sen^-2(3x))/(3x)) * 3x$
ottengo 0 * 1 * 0 e quindi il limite è 0 sia per 0+ che per 0-.
E' giusto questo ragionamento o sto sbagliando qualcosa nei passaggi?
(Devo usare i limiti notevoli)
$(x^2-|x|)/(sen^2(3x))$
Essendo una forma indeterminata di 0/0 ho cercato di ricondurmi al noto limite notevole:
$(senx)/x = 1$ per x che tende a 0.
Dovrei calcolare sia il limite destro che sinistro dallo 0 perchè c'è il modulo,ma ho notato che facendo:
$(x^2 - x) * ((sen^-2(3x))/(3x)) * 3x$
ottengo 0 * 1 * 0 e quindi il limite è 0 sia per 0+ che per 0-.
E' giusto questo ragionamento o sto sbagliando qualcosa nei passaggi?
Risposte
Se il limite è per $x->0$, $sin(3x)$ sarà asintotico a $3x$. Dunque, dato che al denominatore hai $(sin(3x))^2$, questa quantità sarà asintotica a$(3x)^2$, uguale a $9x^2$.
Dunque, in termine di asintotici, potrai riscrivere il limite come $(x^2-|x|)/(9x^2)$
Ora, se $x->0+$, svolgendo il modulo avrai $(x^2 -x)/(9x^2)$, che con De L' Hopital potrai ridurre a: $(2x-1)/(18x)$, cioè $-1/(0+)$, che darà $-infty$, se
$x->0-$, svolgendo il modulo avrai $(x^2 +x)/(9x^2)$, che con De L' Hopital potrai ridurre a: $(2x+1)/(18x)$, cioè $1/(0-)$, che darà $-infty$.
Dunque, in termine di asintotici, potrai riscrivere il limite come $(x^2-|x|)/(9x^2)$
Ora, se $x->0+$, svolgendo il modulo avrai $(x^2 -x)/(9x^2)$, che con De L' Hopital potrai ridurre a: $(2x-1)/(18x)$, cioè $-1/(0+)$, che darà $-infty$, se
$x->0-$, svolgendo il modulo avrai $(x^2 +x)/(9x^2)$, che con De L' Hopital potrai ridurre a: $(2x+1)/(18x)$, cioè $1/(0-)$, che darà $-infty$.
"Max.89":
$(x^2 - x) * ((sen^-2(3x))/(3x)) * 3x$
Così come vale
$lim_(x->0)(senx)/x=1$ vale anche $lim_(x->0)x/(senx)=1$
Quindi non c'è bisogno che lo inverti.. Invertendo rischi solo di confonderti!
Un appunto 
:
$(x^2-|x|)/(9x^2)=1/9-|x|/(9x^2)$
da qui separi il modulo e ottieni il risultato senza De L'Hopital.
:$(x^2-|x|)/(9x^2)=1/9-|x|/(9x^2)$
da qui separi il modulo e ottieni il risultato senza De L'Hopital.
Credo che nell'esercizio devo per forza usare i limiti notevoli e quindi non posso trasformare il denominatore.
(è un esercizio tipo esame).
Devo ricondurmi al caso di $(senx)/x = 1$ o come dice Leena $x/(senx) = 1$
$(x^2 - x) * (3x)/(sen^2(3x))) * (1/(3x))$
Il problema è che anche se quello in mezzo vale 1,quello più a destra ha 0 a denominatore.
(è un esercizio tipo esame).
Devo ricondurmi al caso di $(senx)/x = 1$ o come dice Leena $x/(senx) = 1$
$(x^2 - x) * (3x)/(sen^2(3x))) * (1/(3x))$
Il problema è che anche se quello in mezzo vale 1,quello più a destra ha 0 a denominatore.
Si ma comunque con i limiti notevoli arrivi dove ti hanno detto gli altri.
Poi ricorda:
$lim_(x->0)(senx)/x=1$
ma
$sen^2x=senx*senx$
quindi si ha
$lim_(x->0)(senx*senx)/(x*x)=lim_(x->0)(senx)/x*(senx)/x=1$
Poi ricorda:
$lim_(x->0)(senx)/x=1$
ma
$sen^2x=senx*senx$
quindi si ha
$lim_(x->0)(senx*senx)/(x*x)=lim_(x->0)(senx)/x*(senx)/x=1$
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