Esercizi - $\lim_{n \to \infty}(n+1)^c -n^c$
Ci sono due problemi che proprio non riesco a risolvere:
1) sia $c in (0,1)subeRR$ determinare $\lim_{n \to \infty}(n+1)^c -n^c$
2) sia $A={((n+m)^2)/(2^(mn))): n,m in NN}$, determinare se estremi inferiore e superiore di $A$
Per quanto riguarda il primo, ho provato a dimostrare che il limite è $0$ utilizzando il teorema del confronto, quindi ho cercato di maggiorare la successione in moltissimo modi: ad esempio ho cercato di aumentare di poco il termine $(n+1)^c$ e di diminuire di altrettanto poco o lasciarlo invariato il termine $n^c$, ma ogni volta scopro che ho applicato una maggiorazione troppo forte e la mia successione "maggiorante" anzichè tendere a $0$ tende a $+oo$.
Ho provato a scomporre quella espressione utilizzando il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2+b^2$ ma è inutile.
Ci tengo a sottolineare che ci ho pensato per 2 pomeriggi e ancora nulla, sono aperto anche a consigli se non vi va di dare subito la soluzione.
Per quanto riguarda il secondo, si vede subito che l'estremo inferiore è $0$ infatti ho considerato dapprima che tutti i termini sono positivi, e se fisso per esempio $m=1$ e faccio variare $n$ posso riordinare i termini in una successione che diventa definitivamente decrescente a partire da $n>1$, quindi l'estremo inferiore dell'insieme dei termini di successione monotona decrescente e inferiormente limitata è il suo limite per $n\to oo$, che è naturalmente $0$;
La dfficoltà è nel trovare l'estremo superiore;
Innanzitutto osservo che se $0inNN$ fisso $m=0$ e ho tutti termini del tipo $n^2$ e naturalmente l'insieme è superiormente illimitato, ma essendo troppo semplice ho supposto che nell'esercizio $0$ non sia in $NN$ e che con $NN$ si indichi l'insieme degli interi positivi.
Quindi prima voglio verificare che sia limitata superiormente e l'ho provato cosi:
$m+n<=mn+nm=2mn$ $AAn,m inNN/{0}$, quindi anche $(n+m)^2<=4(nm)^2$,e di conseguenza anche $((n+m)^2)/(2^(mn))<=(4(nm)^2)/(2^(mn))$, l'ultimo membro di questa disuguaglianza rappresenta un'altro insieme che è limitato superiormente(non lo verifico qua ma ho praticamente visto che la successione ${(4(k)^2)/(2^(k))}kinNN$ è monotona decrescente da un certo $k'$ in poi, quindi ammette un picco.)
Adesso pero non ho piu assi nella manica.
Sono aperto anche a consigli e indizi!!
1) sia $c in (0,1)subeRR$ determinare $\lim_{n \to \infty}(n+1)^c -n^c$
2) sia $A={((n+m)^2)/(2^(mn))): n,m in NN}$, determinare se estremi inferiore e superiore di $A$
Per quanto riguarda il primo, ho provato a dimostrare che il limite è $0$ utilizzando il teorema del confronto, quindi ho cercato di maggiorare la successione in moltissimo modi: ad esempio ho cercato di aumentare di poco il termine $(n+1)^c$ e di diminuire di altrettanto poco o lasciarlo invariato il termine $n^c$, ma ogni volta scopro che ho applicato una maggiorazione troppo forte e la mia successione "maggiorante" anzichè tendere a $0$ tende a $+oo$.
Ho provato a scomporre quella espressione utilizzando il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2+b^2$ ma è inutile.
Ci tengo a sottolineare che ci ho pensato per 2 pomeriggi e ancora nulla, sono aperto anche a consigli se non vi va di dare subito la soluzione.
Per quanto riguarda il secondo, si vede subito che l'estremo inferiore è $0$ infatti ho considerato dapprima che tutti i termini sono positivi, e se fisso per esempio $m=1$ e faccio variare $n$ posso riordinare i termini in una successione che diventa definitivamente decrescente a partire da $n>1$, quindi l'estremo inferiore dell'insieme dei termini di successione monotona decrescente e inferiormente limitata è il suo limite per $n\to oo$, che è naturalmente $0$;
La dfficoltà è nel trovare l'estremo superiore;
Innanzitutto osservo che se $0inNN$ fisso $m=0$ e ho tutti termini del tipo $n^2$ e naturalmente l'insieme è superiormente illimitato, ma essendo troppo semplice ho supposto che nell'esercizio $0$ non sia in $NN$ e che con $NN$ si indichi l'insieme degli interi positivi.
Quindi prima voglio verificare che sia limitata superiormente e l'ho provato cosi:
$m+n<=mn+nm=2mn$ $AAn,m inNN/{0}$, quindi anche $(n+m)^2<=4(nm)^2$,e di conseguenza anche $((n+m)^2)/(2^(mn))<=(4(nm)^2)/(2^(mn))$, l'ultimo membro di questa disuguaglianza rappresenta un'altro insieme che è limitato superiormente(non lo verifico qua ma ho praticamente visto che la successione ${(4(k)^2)/(2^(k))}kinNN$ è monotona decrescente da un certo $k'$ in poi, quindi ammette un picco.)
Adesso pero non ho piu assi nella manica.
Sono aperto anche a consigli e indizi!!
Risposte
Ciao a te 
ti propongo un'idea che mi è venuta, non ho purtroppo tempo di vedere se sia una ca**ata o meno, spero possa aiutarti:
scrivi $(n+1)^c - n^c = (n(1 + 1/n))^c - n^c = n^c (1+ 1/n)^c - n^c = n^c ( (1+1/n)^c - 1)$, poi sviluppi in serie di taylor (basta il primo ordine perchè $c<1$) ed hai $n^c ( (1+1/n)^c - 1) = n^c ( 1+c/n + o(1/n) - 1) = n^c * c/n = cn^(c-1)$, e quindi hai convergenza a zero perchè $c-1 < 0$
Per il secondo hai sicuramente ragione riguardo l'estremo inferiore, per quello superiore ti direi di massimizzare la funzione $f(x,y) = ((x+y)^2)/(2^(xy))$ (quindi derivate parziali, annullare il gradiente e, se occorre, matrice hessiana, insomma lo standard
) e poi approssimare al valore intero, sempre se necessario.
Fammi sapere se ti sono stato utile
ti propongo un'idea che mi è venuta, non ho purtroppo tempo di vedere se sia una ca**ata o meno, spero possa aiutarti:scrivi $(n+1)^c - n^c = (n(1 + 1/n))^c - n^c = n^c (1+ 1/n)^c - n^c = n^c ( (1+1/n)^c - 1)$, poi sviluppi in serie di taylor (basta il primo ordine perchè $c<1$) ed hai $n^c ( (1+1/n)^c - 1) = n^c ( 1+c/n + o(1/n) - 1) = n^c * c/n = cn^(c-1)$, e quindi hai convergenza a zero perchè $c-1 < 0$
Per il secondo hai sicuramente ragione riguardo l'estremo inferiore, per quello superiore ti direi di massimizzare la funzione $f(x,y) = ((x+y)^2)/(2^(xy))$ (quindi derivate parziali, annullare il gradiente e, se occorre, matrice hessiana, insomma lo standard
) e poi approssimare al valore intero, sempre se necessario.Fammi sapere se ti sono stato utile
Sul primo potresti,in alternativa equivalente a quanto già detto(ma senza sviluppi..), ricordare che $EE lim_{"x" to "0" } {"(1+x)"^"c" "-1"}/"x" "=c" AA "c" in RR$ e,previo passaggi algebrici analoghi a quelli precedenti,ricordare il teorema ponte tra limiti di successioni numeriche e quelli di funzioni reali di una variabile reale, mentre sul secondo ti basta,per l'estremo superiore,osservare che $"(m-n)"^"2"ge"0 "AA "m,n" in NN setminus "{0}"Rightarrow "2mn"/{"m"^"2""+""n"^"2"}le ..$,
laddove per quello inferiore puoi provare a verificare che è nullo con la relativa caratterizzazione (ipotizza,ad esempio,$"n=1"$ per cavarti dagli impicci e ridurre il discorso allo studio di una disequazione quadratica parametrica).
Saluti dal web.
laddove per quello inferiore puoi provare a verificare che è nullo con la relativa caratterizzazione (ipotizza,ad esempio,$"n=1"$ per cavarti dagli impicci e ridurre il discorso allo studio di una disequazione quadratica parametrica).
Saluti dal web.
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