Esercizi - Integrali, integrali impropri, serie.
Visto che non vorrei star sempre ad aprire un nuovo argomento, e visto che probabilmente nei prossimi giorni, studiando analisi 2 mi ritroverò a chiedervi aiuto con alte probabilità, ho messo come titolo "integrali, integrali impropri e serie" in modo che possa riguardare questi 3. Se volete utilizzarlo anche voi altri membri fate pure, sarà un modo per ripassare assieme.
I miei problemi di integrazione derivano da queste funzioni qui: la prima è quella su cui non riesco a ragionare, so la soluzione eppure non mi viene in mente come portarla a termine! la seconda invece vorrei conoscere il metodo da utilizzare, immagino si tratti dei metodi per funzioni razionali ma svolgendola ho avuto comunque problemi, quindi mi affido a voi magari mi potreste elencare i passaggi fondamentali(non chiedo per entrambe di sviluppare tutto il calcolo, solo se ne avete tempo insomma!).
Comunque ecco gli integrali (definiti), mi basta che si arrivi alle primitive:
1. integrale da 0 a 1 di sqrt(1 + e^x)dx
2. integrale da 0 a 1 di (x^2)(sqrt(2 - x^2))dx
sqrt è radice quadrata, "^" è per l'elevazione a potenza... scusate ma non sono pratico di come immettere dei testi matematici qui >.<
p.s.: a breve posterò anche altro!
grazieeee
I miei problemi di integrazione derivano da queste funzioni qui: la prima è quella su cui non riesco a ragionare, so la soluzione eppure non mi viene in mente come portarla a termine! la seconda invece vorrei conoscere il metodo da utilizzare, immagino si tratti dei metodi per funzioni razionali ma svolgendola ho avuto comunque problemi, quindi mi affido a voi magari mi potreste elencare i passaggi fondamentali(non chiedo per entrambe di sviluppare tutto il calcolo, solo se ne avete tempo insomma!).
Comunque ecco gli integrali (definiti), mi basta che si arrivi alle primitive:
1. integrale da 0 a 1 di sqrt(1 + e^x)dx
2. integrale da 0 a 1 di (x^2)(sqrt(2 - x^2))dx
sqrt è radice quadrata, "^" è per l'elevazione a potenza... scusate ma non sono pratico di come immettere dei testi matematici qui >.<
p.s.: a breve posterò anche altro!
grazieeee
Risposte
Riscriviamo per bene:
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1+e^x}\,dx\quad (1)[/tex]
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\sqrt{2-x^2}\,dx\quad (2)[/tex]
Vediamo se posso darti qualche consiglio. Per l'integrale \((1)\), con una opportuna sostituzione la primitiva di \(\sqrt{1+e^x}\) si trova facilmente. Il secondo invece richiede un po' più di calcoli. Ti consiglio di porre \( \sqrt{2-x^2}=u\) e sviluppare con attenzione. Se non ho visto male, dovrebbero venirti fuori due termini di cui possiamo trovare la primitiva piuttosto serenamente.
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1+e^x}\,dx\quad (1)[/tex]
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\sqrt{2-x^2}\,dx\quad (2)[/tex]
Vediamo se posso darti qualche consiglio. Per l'integrale \((1)\), con una opportuna sostituzione la primitiva di \(\sqrt{1+e^x}\) si trova facilmente. Il secondo invece richiede un po' più di calcoli. Ti consiglio di porre \( \sqrt{2-x^2}=u\) e sviluppare con attenzione. Se non ho visto male, dovrebbero venirti fuori due termini di cui possiamo trovare la primitiva piuttosto serenamente.
Ho riflettuto abbastanza sulla prima. Non riesco a capire cosa mi sfugge... a meno che non debba lavorare con quell' 1... seno e coseno parabolico di x ? (formula fondamentale 1 = coshx^2 - senhx^2 ... però non sono sicuro >.< ora ci provo... ma è proprio l'ultima spiaggia!
Per la seconda, ora la rivedo ma prima di postare dei possibili ragionamenti miei chiedo : come faccio a scrivere in testo "matematico" come hai fatto tu?
Per la seconda, ora la rivedo ma prima di postare dei possibili ragionamenti miei chiedo : come faccio a scrivere in testo "matematico" come hai fatto tu?
Anche per il primo integrale usa il metodo di sostituzione ponendo $ sqrt(1+e^x)= t $ .
Per far apparIre le formule in modo intellegibile falle precedere e seguire dal segno del DOLLARO.
Per far apparIre le formule in modo intellegibile falle precedere e seguire dal segno del DOLLARO.
Se sostituisco in questa maniera poi come levo il dx?
"Simonixx":
Se sostituisco in questa maniera poi come levo il dx?
$sqrt( 1 + e^x ) = t$
$e^x = t^2 - 1$
$x = ln(t^2 - 1)$
E differenziando ambo i membri:
$dx = 1/(t^2 - 1) * ( 2 t ) dt$
Okok... mi manca qualcosa della teoria allora!
Io sapevo, forse sbagliando, che se sostituisco una certa quantità con ad esempio la variabile T, poi dT sarebbe divenuto uguale alla derivata della funzione che sta sostituendo T moltiplicato a dx ...
esempio $e^x = t$ ---> $dt = e^xdx$ ...
Invece per risolvere ti sei mosso diversamente... e allora vorrei sapere se sbaglio a dire quello che dico pocanzi o il tuo modo di muoverti è solo dovuto a qualche passaggio da quello che dico io...
scusa le lacune >_<
EDIT: Ho compreso da me quelle cose che chiedevo più sopra, fortunatamente. Per quanto riguarda il primo integrale con questi nuovi consigli, anzi, con questo "nuovo" modo di fare sono giunto alla soluzione... anche se non era poi così immediata.
EDIT 2: allora facendo il secondo e sostituendo la radice con una variabile verrebbe così:
$sqrt(2 - x^2) = t ---> x^2 = 2 - t^2 ---> x = +- sqrt(2 - t^2)$
Prendo + o - ? sempre che il ragionamento sia giusto...
p.s.: il segno integrale e gli apici come si fanno nel testo...? °
Io sapevo, forse sbagliando, che se sostituisco una certa quantità con ad esempio la variabile T, poi dT sarebbe divenuto uguale alla derivata della funzione che sta sostituendo T moltiplicato a dx ...
esempio $e^x = t$ ---> $dt = e^xdx$ ...
Invece per risolvere ti sei mosso diversamente... e allora vorrei sapere se sbaglio a dire quello che dico pocanzi o il tuo modo di muoverti è solo dovuto a qualche passaggio da quello che dico io...
scusa le lacune >_<
EDIT: Ho compreso da me quelle cose che chiedevo più sopra, fortunatamente. Per quanto riguarda il primo integrale con questi nuovi consigli, anzi, con questo "nuovo" modo di fare sono giunto alla soluzione... anche se non era poi così immediata.
EDIT 2: allora facendo il secondo e sostituendo la radice con una variabile verrebbe così:
$sqrt(2 - x^2) = t ---> x^2 = 2 - t^2 ---> x = +- sqrt(2 - t^2)$
Prendo + o - ? sempre che il ragionamento sia giusto...
p.s.: il segno integrale e gli apici come si fanno nel testo...? °
Tralasciando i dubbi postati prima, il secondo integrale... qualcuno potrebbe spiegarmi i passaggi per risolverlo?
E' l'ultimo di una serie di esercizi di integrali definiti...!
E' l'ultimo di una serie di esercizi di integrali definiti...!
Prova a sostituire $x=\sqrt{2} \sin t$. Da questo dovresti ottenere un integrale abbastanza semplice in seno e coseno. Ricordati, anche, di cambiare gli estremi di integrazione: se $x=0$ allora $\sin t=0$ e quindi $t=0$. Analogamente se $x=1$, $\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e quindi $t=\pi/4$.
Facendo alla fine dovrei trovare la primitiva di $int4(sen^2t)*(cos^2t)*dt$ E qui sto in un punto morto no? L'integrazione per parti non mi aiuta...
Prova a usare le identità di bisezione:
\[\int 4\,\sin^2 t \cdot\cos^2 t \,dt=\int 4\frac{1-\cos(2t)}{2}\cdot\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt=\ldots\]
\[\int 4\,\sin^2 t \cdot\cos^2 t \,dt=\int 4\frac{1-\cos(2t)}{2}\cdot\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt=\ldots\]
Oppure la formula di duplicazione del seno: $2\sin t\cos t=\sin(2t)$.
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