Esercizi integrali impropri

[anto.tesone1]

salve non so come risolvere questo esercizio.

Provare, senza calcolarne l’integrale, che la funzione $ 1/x^2cos^3(1/x) $

e integrabile in $ [2/pi ; +infty [ $

Calcolare quindi l’integrale improprio: $\int_{2/pi}^{+infty} 1/x^2cos^3(1/x) dx$

per calcolare l integrale mi basta calcolare la primitiva della funzione e calcolare $\lim_{b \to \infty} \int_{2/pi}^{b} 1/x^2cos^3(1/x) dx $, per dimostrare che è integrabile invece non ho idea di come si risolva. Credo si debba invocare qualche teorema. avevo pensato che se la funzione è continua allora è integrabile però questo vale solo se la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b].
grazie mille a chi risponderà

[billyballo2123]

Basta usare il criterio del confronto asintotico. In particolare la tua funzione è asintotica a $1/x^2$ che è integrabile in un intorno di $+\infty$.

[anto.tesone1]

Se la funzione fosse diversa come dovrei procedere? Dovrei cercare una funzione che gli assomiglia che so che è integrabile?

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[billyballo2123]

Più che una funzione che gli "somiglia" devi cercare una funzione a cui è asintotica e che sia integrabile (o non integrabile se vuoi dimostrare che non lo sia).