Esercizi integrale improrpio
Ciao a a tutti. Ho aperto questo post per inviare i vari esercizi sugli int. impropri che svolgo, per vedere se sono giusti e avere chiarimenti.
Questo è il primo:$int_(1/2)^(+oo)1/(sqrt(2x)(2x+1))$ Calcolando il dominio della funzione vediamo che in questo intervallo è continua quindi possiamo scrivere $lim_(y->+oo)int_(1/2)^(y)1/(sqrt(2x)(2x+1))$. Io ho pensato di risolvere questo integrale con il confronto asintoticoe quindi $1/(sqrt(2x)(2x+1)) ~_(+oo)1/(8x^3)$ che otteniamo dopo aver svolto il denominatore. Adesso calcolo $lim_(y->+oo)int_(1/2)^(y)1/(8x^3)$ che viene $lim_(y->+oo)(1/(8y^3)-4$ che viene quindi $-4$ e quindi converge.
Non so se è giusto come ho fatto perchè ho guardato il risultato e loro oltre a stabilire se converge o diverge lo risolvono per sostituzione ponendo $sqrt(2x)=t$ e a loro viene $arctg(sqrt(2x))$ che poi facendo i calcoli converge pure ma a $pi/4$. Fa lo stesso come ho fatto io? (Perchè a me non si chiedeva di calcolarlo)
Ecco un altro esercizio:
Calacolare il + piccolo valore di $ninNN$ tale che l'integrale $int_(2)^(+oo)x/(sqrt(x^2+3))^ndx$ converga.
Allora dopo aver visto ad occhio che in questo intervallo la funzione è definita e continua ho visto che per $x->+oo$ la funzione equivale asintoticamente a $x/(x^n)$ ovvero a $1/(x^(n-1))$ SE andiamoa calcolare l'integrale di questa funzione otteniamo $lim_(y->+oo)(y^(2-n))/(2-n)-(2^(2-n))/(2-n)$ Tutta questa quantità converge per $2-n>0$ ossia per $n>2$ quindi il + piccolo valore è $n=3$.
Ho provato anche a fare questo esercizio ma guardando la soluzione mi sono accorto che era diverso.
Discutere la convergenza di $int_(0)^(+oo)(|x^2-2x-3|-x^2-2x-3)/x^(alpha)$. Loro dividono l'integrale in questo modo $int_(0)^(3)(-2/x^(alpha-2))dx + int_(3)^(+oo)(-4x-6)/x^(alpha)$ ma perchè?
Io so che un integrale si può dividere nella somma di due integrali ma perchè farlo quì?
Praticamente io avevo pensato che il dominio della funzione dipende da $alpha$. Se $alpha=0$ il dominio è per tutto $RR$ mentre negli altri casi per $x!=0$ quindi ho capito che dovevo calcolare due limiti di itegrali. Il primo $y->0^+$e l'altro a infinito. In entrambii casi avevo considerato di togliere il val assoluto e lasciare tutto positivo e quindi mi veniva $(-4x-6)/x^(alpha)$ e stavo continuando così ma mi sono accorto che è sbagliato. Perchè?
Questo è il primo:$int_(1/2)^(+oo)1/(sqrt(2x)(2x+1))$ Calcolando il dominio della funzione vediamo che in questo intervallo è continua quindi possiamo scrivere $lim_(y->+oo)int_(1/2)^(y)1/(sqrt(2x)(2x+1))$. Io ho pensato di risolvere questo integrale con il confronto asintoticoe quindi $1/(sqrt(2x)(2x+1)) ~_(+oo)1/(8x^3)$ che otteniamo dopo aver svolto il denominatore. Adesso calcolo $lim_(y->+oo)int_(1/2)^(y)1/(8x^3)$ che viene $lim_(y->+oo)(1/(8y^3)-4$ che viene quindi $-4$ e quindi converge.
Non so se è giusto come ho fatto perchè ho guardato il risultato e loro oltre a stabilire se converge o diverge lo risolvono per sostituzione ponendo $sqrt(2x)=t$ e a loro viene $arctg(sqrt(2x))$ che poi facendo i calcoli converge pure ma a $pi/4$. Fa lo stesso come ho fatto io? (Perchè a me non si chiedeva di calcolarlo)
Ecco un altro esercizio:
Calacolare il + piccolo valore di $ninNN$ tale che l'integrale $int_(2)^(+oo)x/(sqrt(x^2+3))^ndx$ converga.
Allora dopo aver visto ad occhio che in questo intervallo la funzione è definita e continua ho visto che per $x->+oo$ la funzione equivale asintoticamente a $x/(x^n)$ ovvero a $1/(x^(n-1))$ SE andiamoa calcolare l'integrale di questa funzione otteniamo $lim_(y->+oo)(y^(2-n))/(2-n)-(2^(2-n))/(2-n)$ Tutta questa quantità converge per $2-n>0$ ossia per $n>2$ quindi il + piccolo valore è $n=3$.
Ho provato anche a fare questo esercizio ma guardando la soluzione mi sono accorto che era diverso.
Discutere la convergenza di $int_(0)^(+oo)(|x^2-2x-3|-x^2-2x-3)/x^(alpha)$. Loro dividono l'integrale in questo modo $int_(0)^(3)(-2/x^(alpha-2))dx + int_(3)^(+oo)(-4x-6)/x^(alpha)$ ma perchè?
Io so che un integrale si può dividere nella somma di due integrali ma perchè farlo quì?
Praticamente io avevo pensato che il dominio della funzione dipende da $alpha$. Se $alpha=0$ il dominio è per tutto $RR$ mentre negli altri casi per $x!=0$ quindi ho capito che dovevo calcolare due limiti di itegrali. Il primo $y->0^+$e l'altro a infinito. In entrambii casi avevo considerato di togliere il val assoluto e lasciare tutto positivo e quindi mi veniva $(-4x-6)/x^(alpha)$ e stavo continuando così ma mi sono accorto che è sbagliato. Perchè?
Risposte
ehy ragazzi ho svolto un altro integrale e alla fine mi rimane $2int_()^()1/(4+9t^2)$. Ho capito che deve diventare arctg di qualcosa ma
non trovo qualcosa con cui moltiplicarlo e dividerlo per farlo diventare $1/(1+x^2)$.
Che faccio?
non trovo qualcosa con cui moltiplicarlo e dividerlo per farlo diventare $1/(1+x^2)$.
Che faccio?
$1/(4+9t^2)$
Poni $x=3/2*t$
allora $t=2/3*x$ $->$ $t^2=4/9*x^2$ $->$ $9t^2=4x^2$
inoltre $dt= (2/3)dx$
Poni $x=3/2*t$
allora $t=2/3*x$ $->$ $t^2=4/9*x^2$ $->$ $9t^2=4x^2$
inoltre $dt= (2/3)dx$
@gi8: Ah già. E' vero. Portando fuori il 4 diventa $4(1+9/4t^2)$ ponendo poi $x=3/2t$ si ha quello che volevo ottenere. OK GRAZIE
resto in attesa di vostre risposte... 
Vorrei avere delucidazioni soprattutto sul penultimo esercizio ovvero quello del polinomio in valore assoluto 
Adesso ho svolto un altro integrale improprio ma io l'ho fatto in un modo e mi è venuto un risultato. Loro lo svolgono in modo diverso e ne hanno un altro. L'integrale è questo :$int_(4)^(5)(1-3x)/(sqrtx-2)$ che per $x->4$ è infinito qundi io ho pensato di risolvere per sostituzione ponendo $sqrtx=t$ e quindi mi viene fuori $int_()^()(1-3t^2)/(t-2)2tdt=(2t-3t^3)/(t-2)$ e ora mi blocco non so cosa fare
invece loro la risolvono con la razionalizzazione. In questi casi mi conviene usare la razionalizzazione?
Adesso ho svolto un altro integrale improprio ma io l'ho fatto in un modo e mi è venuto un risultato. Loro lo svolgono in modo diverso e ne hanno un altro. L'integrale è questo :$int_(4)^(5)(1-3x)/(sqrtx-2)$ che per $x->4$ è infinito qundi io ho pensato di risolvere per sostituzione ponendo $sqrtx=t$ e quindi mi viene fuori $int_()^()(1-3t^2)/(t-2)2tdt=(2t-3t^3)/(t-2)$ e ora mi blocco non so cosa fare
invece loro la risolvono con la razionalizzazione. In questi casi mi conviene usare la razionalizzazione?
"AlexlovesUSA":
Ho provato anche a fare questo esercizio ma guardando la soluzione mi sono accorto che era diverso.
Discutere la convergenza di $int_(0)^(+oo)(|x^2-2x-3|-x^2-2x-3)/x^(alpha)$. Loro dividono l'integrale in questo modo $int_(0)^(3)(-2/x^(alpha-2))dx + int_(3)^(+oo)(-4x-6)/x^(alpha)$ ma perchè?
Io so che un integrale si può dividere nella somma di due integrali ma perchè farlo quì?
Praticamente è un metodo per "eliminare" il valore assoluto... Infatti il polinomio $x^2-2x-3$ è uguale a $(x+1)(x-3)$ ed è dunque positivo $AAx >3$ e $AAx<-1$ mentre in $(-1,3)$ è negativo.
Siccome la funzione è da integrare tra $0$ e $+oo$ si può notare che in $(0,3)$ quel polinomio è negativo e dunque si può togliere il valore assoluto cambiando di segno a tutto il polinomio [questo perchè quando si fa il valore assoluto di una quantità negativa il risultato è l'opposto della quantità di partenza]
Pertanto in $(0,3)$ il numeratore della funzione integranda diventa $-(x^2-2x-3)-x^2-2x-3= -x^2+2x-3-x^2-2x-3= -2x^2$
Quindi tutta la frazione diventa $-2x^2/x^(alpha)=-2/x^(alpha-2)$ o anche $-2x^(2-alpha) $[proprietà delle potenze]
Invece in $(3,+oo)$ il polinomio in valore assoluto è sempre positivo e dunque si può "togliere" il valore assoluto senza cambiare di segno al polinomio
A questo punto la frazione diventa $(x^2-2x-3-x^2-2x-3)/x^(alpha)$ = $(-4x-6)/x^(alpha)$
A questo punto la frazione diventa $(x^2-2x-3-x^2-2x-3)/x^(alpha)$ = $(-4x-6)/x^(alpha)$
Adesso è tutto chiaro. Grazie. Per quanto riguarda l'ultimo invece?
Sull'ultimo io farei come hai fatto tu... ovvero con la sostituzione $t=sqrt(x)$ ... ricordati ovviamente che gli estremi di integrazione non saranno più $4$ e $5$ ma $2$ e $sqrt(5)$.. I passaggi che hai fatto sono correti, tranne
Non viene $(2t-3t^3)/(t-2)$ ma $(2t-6t^3)/(t-2)$
"AlexlovesUSA":
$int_()^()(1-3t^2)/(t-2)2tdt=(2t-3t^3)/(t-2)$
Non viene $(2t-3t^3)/(t-2)$ ma $(2t-6t^3)/(t-2)$
Ecco dopodichè devo integrare questa funzione che otteniamo e risolvere l'integrale giusto?
Invece loro fanno un procedimento molto + breve del nostro. Praticamente razionalizzano ottenendo $((1-3x)(sqrtx+2))/(x-4)$ e dicono che diverge quidni tutto l'integrale.
Invece loro fanno un procedimento molto + breve del nostro. Praticamente razionalizzano ottenendo $((1-3x)(sqrtx+2))/(x-4)$ e dicono che diverge quidni tutto l'integrale.
Adesso ho svlolto un altro esercizio che dice: Studiare il comportamento in 0 della funzione e det. la parte primcipale.
La funzione è:$f(x)=(1-cosx)/(x^2log(1+sqrtx))$
In 0 si ha $0/0$. Calcolando il limite otteniamo che l'orine è $alpha=1/3$ mentre la parte principale è $1/(2root(3)x)$.
Adesso dobbiamo studiare la convergenza di $int_(0)^(+oo)f(x)dx$. Io ho calcolato il dominio che mi viene $D=(-1;0)U(0;+oo)$ e quindi io andrei a studiare la convergenza in entrambi gli estremi dell'integrale
A questo punto loro dividono l'integrale in 2 , secondo me ne ne può fare a meno, scrivendo $int_(0)^(beta)f(x)dx+int_(beta)^(+oo)f(x)dx$. Il primo integrale, sostituendo la fuznione ottenuta per equivalenza nella prima parte dell'esercizio , ovvero $1/(2root(3)x)$, e integrando, converge. Per quanto riguarda la seconda parte avavo pensato di usare l'assoluta convergenza o a un confronto ma non saprei come procedere. Che faccio?
La funzione è:$f(x)=(1-cosx)/(x^2log(1+sqrtx))$
In 0 si ha $0/0$. Calcolando il limite otteniamo che l'orine è $alpha=1/3$ mentre la parte principale è $1/(2root(3)x)$.
Adesso dobbiamo studiare la convergenza di $int_(0)^(+oo)f(x)dx$. Io ho calcolato il dominio che mi viene $D=(-1;0)U(0;+oo)$ e quindi io andrei a studiare la convergenza in entrambi gli estremi dell'integrale
A questo punto loro dividono l'integrale in 2 , secondo me ne ne può fare a meno, scrivendo $int_(0)^(beta)f(x)dx+int_(beta)^(+oo)f(x)dx$. Il primo integrale, sostituendo la fuznione ottenuta per equivalenza nella prima parte dell'esercizio , ovvero $1/(2root(3)x)$, e integrando, converge. Per quanto riguarda la seconda parte avavo pensato di usare l'assoluta convergenza o a un confronto ma non saprei come procedere. Che faccio?
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