Esercizi: integrale funzione razionale e Laplace

[folgore1]

Salve a tutti!Ho svolto interamente i seguenti esercizi e vorrei un vostro parere a riguardo!Vi ringrazio in anticipo



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Esercizio 1):

Ricordando l’espressione di $cost$ mediante la formula di Eulero e ponendo $z=e^(jt)$ abbiamo:
$cost=(z+1/z)/2$ e $cos3t= (z^3-1/(z^3))/2$.
Al variare di $t$ in $[0,2pi]$,$t$ descrive(in verso antiorario) la circonferenza unitaria $\Gamma$ nel
piano complesso.
Pertanto sostituendo si ottiene:
$int_0^(2pi) (cos3t)/(5-4cost) dt=1/j int_(\Gamma) (z^3-1/(z^3))/(10z-4z^2-4) dz$
Quest’ultimo integrale può essere spezzato nei seguenti due integrali A e B:
$1/j [int_(\Gamma) (z^3)/ (10z-4z^2-4) dz - int_(\Gamma) 1/(z^(3)( 10z-4z^2-4)) dz]=1/j[A-B]$.
1)Gli zeri del denominatore dell’integrando di $A$ sono $z_1 =1/2$ e $z_2=2$ e sono poli
semplici.Applicando il I Teorema dei Residui all’integrale $A$:
$A=2pij*R[z_1]$
$R[z_1]= \lim_{z \to \1/2}(z-1/2)*(z^3)/( (z-1/2)(z-2))=-1/12$.
Dunque l’integrale $A$ vale:
$A=(-pij)/6$.
2) Gli zeri del denominatore dell’integrando di $B$ sono $z_1 =1/2$ , $z_2=2$ e $z_3=0$.
Di cui $z_3=0$ è un polo del III ordine mentre,come abbiamo detto, $z_1 =1/2$ e $z_2=2$ sono
poli semplici.
Applicando il I Teorema dei Residui all’integrale $B$:
$B=2pij*(R[z_1]+R[z_3])$.
Il residuo dell’integrando nel polo $z_3$ risulta:
$ R[z_3]=1/((3-1)!) \lim_{z \to \0}(d^2)/(dz^2)[ z^3*(1)/ (z^(3)( 10z-4z^2-4))]=-9/256$
Dunque l’integrale $B$ vale:
$B=-(pij)/(6)- (9pij)/(128)$.
In definitiva abbiamo che
$int_0^(2pi) (cos3t)/(5-4cost) dt = 1/j[A-B]=1/j((-pij)/(6) + (pij)/(6) - (9pij)/(128))= - (9pij)/(128)$

Esercizio 2):

La trasformata $X(s)$ può essere spezzata in due trasformate $X_1(s)$ e $X_2(s)$:
$X(s)= X_1(s)+X_2(s)=(se^(-s))/ ((s-1)(s^(2)-2s+5)^(2)) + (1)/((s-1)(s^(2)-2s+5)^(2))$.
Gli zeri di $Q(s)= (s-1)(s^(2)-2s+5)^(2)$ sono:
$s_1=1$,$s_2=1+2j$ e $s_3=1-2j$.Di cui $s_1$ è un polo semplice mentre $s_2=1+2j$ e $s_3=1-2j$
sono poli doppi complessi e coniugati.
Entrambe le trasformate $X_1(s)$ e $X_2(s)$ sono funzioni razionali proprie e ad esse non è possibile applicare il teorema del valore finale poiché il semipiano destro del dominio di $X(s)$ non comprende
l’asse immaginario e inoltre perché ciascun polo ha la parte reale $>0$.
E’ possibile invece applicare il teorema del valore iniziale in quanto $X_1(s)$ e $X_2(s)$ sono funzioni razionali proprie e le costanti reali valgono $\tau=1$ e $\tau=0$ cioè sono $>=0$.Quindi
$x(0_+)=lim_{s\to\infty}(s^(2)*e^(-s) + s)/( (s-1)(s^(2)-2s+5)^(2))=0$ con $|args|<=k Ora antitrasformando $X_1(s)$ abbiamo
$L^(-1) [X_1(s)]= L^(-1) [(s)/((s-1)(s^(2)-2s+5)^(2))]_(t-1) = L^(-1) [(R[s_1])/(s-s_1) + (R[s_2])/(s-s_2)^(2) + (R[s_2])/(s-s_2) + (R[s_3])/(s-s_3)^(2)+ (R[s_3])/(s-s_3)] _(t-1)$
$R[s_1]=lim_{s\to\1} (s-1)*(s)/((s-1)(s^(2)-2s+5)^(2))=1/16$
$R[s_2]=lim_{s\to\s_2} (s-s_2)^(2)*(s)/((s-1)(s^(2)-2s+5)^(2))=(-1-2j)/8$
$R[s_2]=lim_{s\to\s_2} d/(ds)[(s-s_2)^(2)*(s)/((s-1)(s^(2)-2s+5)^(2))]=-(1)/(32)*(1+j)$
Per linearità si ottiene $x_1 (t)$
$x_1 (t)=e^(t-1)/16 u(t-1)-((1+2j)/8)*e^((1+2j)(t-1))(t-1)-((1+j)/32)*e^((1+2j)(t-1))u(t)- ((1-2j)/8)*e^((1-2j)(t-1))(t-1)- ((1-j)/32)*e^((1-2j)(t-1))u(t-1)$
Analogamente si procede per $X_2(s)$ ottenendo
$x_2 (t)=e^(t)/16 u(t)-e^((1+2j)t)/8 t +((4j-16)/(1024))*e^((1+2j)t) u(t)- e^((1-2j)t)/8 t- ((16+4j)/(1024)) e^((1-2j)t) u(t)$
In definitiva
$x(t)= x_1 (t)+ x_2 (t)$

[gugo82]

Per il primo, il risultato è sbagliato.
Ti sei ricordato che [tex]$\text{d} z = \jmath e^{\jmath t}\ \text{d} t$[/tex], quindi [tex]$\text{d} t= \tfrac{\text{d} z}{\jmath z}$[/tex]?

[folgore1]

"gugo82":Per il primo, il risultato è sbagliato.
Ti sei ricordato che [tex]$\text{d} z = \jmath e^{\jmath t}\ \text{d} t$[/tex], quindi [tex]$\text{d} t= \tfrac{\text{d} z}{\jmath z}$[/tex]?

Si mi sono ricordato!Solo che non ho scritto il passaggio ma ho riportato direttamente l'integrale $1/j int_(\Gamma) (z^3-1/(z^3))/(10z-4z^2-4) dz$.

[gugo82]

E non è che per caso hai dimenticato un [tex]$4$[/tex] nella scomposizione del polinomio a denominatore?
Ricordo che [tex]$az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$[/tex] ove [tex]$z_1,z_2$[/tex] sono le radici del polinomio...


P.S.: Sto facendo queste domande perchè in realtà vorrei evitare di fare tutti i conti!

[folgore1]

"gugo82":E non è che per caso hai dimenticato un [tex]$4$[/tex] nella scomposizione del polinomio a denominatore?
Ricordo che [tex]$az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$[/tex] ove [tex]$z_1,z_2$[/tex] sono le radici del polinomio...
P.S.: Sto facendo queste domande perchè in realtà vorrei evitare di fare tutti i conti!

Mi rendo conto benissimo che è molto scocciante fare e rifare i conti ad ogni modo credo che l'errore è proprio questo qui che mi hai segnalato tu.
In pratica ho calcolato le radici del polinomio al denominatore ($z_1=1/2$ e $z_2=2$) ma all'interno dei residui piuttosto che scrivere $4*(z-1/2)(z-2)$ ho scritto $(z-1/2)(z-2)$.
Penso che dopo un errore simile seppur di distrazione la vedo molto dura

[gugo82]

E perchè in [tex]$B$[/tex] non hai ricalcolato [tex]$\text{R}[z_1]$[/tex]?
Non dovrebbe essere diverso dal valore calcolato in precedenza?

[folgore1]

"gugo82":E perchè in [tex]$B$[/tex] non hai ricalcolato [tex]$\text{R}[z_1]$[/tex]?
Non dovrebbe essere diverso dal valore calcolato in precedenza?

Si infatti è diverso perchè è l'integrando che è diverso.
In $B$ il residuo $R[z_1]$ risulta:
$R[z_1]= \lim_{z \to \1/2}(z-1/2)*1/(4z^(3)(z-1/2)(z-2))=\lim_{z \to \1/2} 1/(4z^(3)(z-2))=-4/3$.
Purtroppo mi sono reso conto solo ora che per distrazione ho riportato il residuo $R[z_1]$ di $A$ in $B$.
P.S.Dimenticavo...che mi dici del secondo esercizio??