Esercizi Gauss Green e Stokes

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Salve a tutti,
mi potreste dare una mano con alcuni esercizi riguardanti le formule di Gauss Green e di Stokes?
Un esercizio che non riesco ad affrontare è:
Sia data $ FinCC^1(RR^3;RR^3), F(x)=(F_1(x),F_2(x),F_3(x)) $
Se $ S={(x_1,x_2,x_3)in RR^3:x_1^2+x_2^2+x_3^2=25, x_2>=0, -1<=x_3<=2} $, $ \nu $ è l'orientamento di S tale che $ \nu(2,1,0)=(-2/sqrt(5),-1/sqrt(5),0) $ , allora $ int_Srot(F)(x)\nu(x)dx= $
a. $ int_{arccos(2/5)} ^{arccos(-1/5)} [F(-5sin\theta,0,5cos\theta)(5cos\theta,0,5sin\theta)+F(5sin\theta,0,5cos\theta)(5cos\theta,0,-5sin\theta)]d\theta - int_{0} ^{\pi}[F(sqrt21cos\phi,sqrt21sin\phi,2)(-sqrt21sin\phi,sqrt21cos\phi,0)+F(sqrt24cos\phi,sqrt24sin\phi,-1)(-sqrt24sin\phi,sqrt24cosphi,0)]d\phi $

b. $ -int_{arccos(2/5)} ^{arccos(-1/5)} [F(-5sin\theta,0,5cos\theta)(5cos\theta,0,5sin\theta)+F(5sin\theta,0,5cos\theta)(-5cos\theta,0,5sin\theta)]d\theta+int_{0} ^{\pi}[F(sqrt21cos\phi,sqrt21sin\phi,2)(-sqrt21sin\phi,sqrt21cos\phi,0)+F(sqrt24cos\phi,sqrt24sin\phi,-1)(-sqrt24sin\phi,sqrt24cosphi,0)]d\phi $

c. $ int_{arccos(2/5)} ^{arccos(-1/5)} [F(-5sin\theta,0,5cos\theta)(5cos\theta,0,5sin\theta)+F(5sin\theta,0,5cos\theta)(5cos\theta,0,-5sin\theta)]d\theta-int_{0} ^{\pi}[F(sqrt21cos\phi,sqrt21sin\phi,2)(-sqrt21sin\phi,sqrt21cos\phi,0)+F(sqrt24cos\phi,sqrt24sin\phi,-1)(-sqrt24sin\phi,sqrt24cosphi,0)]d\phi $

d. $ int_{arccos(2/5)} ^{arccos(-1/5)} [F(-5sin\theta,0,5cos\theta)(-5cos\theta,0,-5sin\theta)-F(5sin\theta,0,5cos\theta)(5cos\theta,0,-5sin\theta)]d\theta+int_{0} ^{\pi}[F(sqrt21cos\phi,sqrt21sin\phi,2)(-sqrt21sin\phi,sqrt21cos\phi,0)-F(sqrt24cos\phi,sqrt24sin\phi,-1)(-sqrt24sin\phi,sqrt24cosphi,0)]d\phi $

Non riesco a capire come dovrei parametrizzare il tutto. So che S corrisponde ad una semisfera presa con le y positive, di raggio 5, con centro l'origine. Di questa però prendo in considerazione solo la parte compresa tra z=-1 e z=2. Il bordo è compreso. Quindi immagino che bisogna passare alle coordinate sferiche, ponendo il raggio = 5:
$ \{(x=5cos\phisin\theta),(y=5sin\phisin\theta),(z=5cos\theta):} $
Da qui in poi inizio a far confusione..

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Ci sarebbe anche un altro esercizio sul quale ho qualche dubbio.
Chiedo scusa per la lunghezza del tutto, so che va a mio discapito scoraggiando eventuali anime pie che potrebbero aiutarmi
Sia $ finCC^1(RR^3) $ se $ \Omega={(x_1,x_2,x_3)inRR^3:x_1^2+x_2^2<(x_3-3)^2, 0 int_{\bar{\Omega}}(delf)/(delx_3)(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3= $
la risposta corretta dovrebbe essere
$ int_{0}^{2\pi}(int_{0}^{2}f((3-\zeta)cos\theta,(3-\zeta)sin\theta,\zeta)(3-zeta)d\zeta)d\theta+int_{0}^{2\pi}(int_{0}^{1}f(\rhocos\theta,\rhosin\theta,2)\rhod\rho)d\theta-int_{0}^{2\pi}(int_{0}^{3}f(\rhocos\theta,\rhosin\theta,0)\rhod\rho)d\theta $

ho risolto questo esercizio per $ (delf)/(delx_1) $ e $(delf)/(delx_2) $, ma con questo ho avuto difficoltà.
$ \Omega $ se non sbaglio è un cono con centro in (0,0,3). Quindi io avrei usato le coordinate cilindriche scritte come:
$ {(x_1=\rhocos\theta),(x_2=\rhosin\theta), (x_3=z+3):} $
Dopo ciò adeguo il dominio che a me verrebbe $ -3 Il prof invece sembra sostituire a $ x_3=(3-\zeta) $ e a questo uguaglia $ \rho $ , ma comunque non riesco a capire i domini di integrazione che lui pone e il perchè sembra cambiare parametrizzazione per ogni integrale..
Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi tipo di aiuto