Esercizi funzioni invertibili e derivate
Volevo chiedervi se avete in pdf magari degli esercizi del tipo:
Verificare che la funzione è invertibile, in caso affermativo determinare la sua inversa, e verificare se esiste la derivata nel punto x0.
Nel Caponnetto-Catania non ne ho trovati sulle funzioni inverse.
Volevo anche chiedere una cosa un pò off-topic.
[tex]\lim_{x\to 0^+}arctg\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}[/tex]
Perchè?
La funzione arcotangente è definita nell'immagine della funzione tangente, cioè per ogni x diverso da pi/2, quindi perchè qui il risultato è pi/2?
Perchè gli estremi dell'intervallo qui sono compresi?
Io pensavo che come per [tex]sen(\frac{1}{x})[/tex] non esiste, avrei detto che anche questo non esite..
Verificare che la funzione è invertibile, in caso affermativo determinare la sua inversa, e verificare se esiste la derivata nel punto x0.
Nel Caponnetto-Catania non ne ho trovati sulle funzioni inverse.
Volevo anche chiedere una cosa un pò off-topic.
[tex]\lim_{x\to 0^+}arctg\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}[/tex]
Perchè?
La funzione arcotangente è definita nell'immagine della funzione tangente, cioè per ogni x diverso da pi/2, quindi perchè qui il risultato è pi/2?
Perchè gli estremi dell'intervallo qui sono compresi?
Io pensavo che come per [tex]sen(\frac{1}{x})[/tex] non esiste, avrei detto che anche questo non esite..
Risposte
"guitarplaying":
La funzione arcotangente è definita nell'immagine della funzione tangente, cioè per ogni x diverso da pi/2
Questo è il dominio della funzione tangente, non l'immagine. Qual è l'immagine?
tgx-->domf= per ogni x diverso da pi/2
Imf=R
Se non sbaglio....quindi
arctgx--->domf=R
Imf= Per ogni x diverso da pi/2
Quindi perchè il limite risulta pi/2 ?
Imf=R
Se non sbaglio....quindi
arctgx--->domf=R
Imf= Per ogni x diverso da pi/2
Quindi perchè il limite risulta pi/2 ?
No, [tex]\text{Im}f = \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/tex].
"fireball":
No, [tex]\text{Im}f = \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/tex].
Si....e quindi se l'estremo non è incluso perchè il risultato del limite può essere pi/2?
Se l'immagine è l'insieme dei valor iassunti dalla funzione, e l'intervallo non la include?
Guarda che il limite di una funzione in generale non appartiene alla sua immagine...!
Allora considerando il limite di partenza, sull'arcotangente, perchè si può dire che se risulta più o meno infinito vale + o - pi/2.
Perché [tex]\frac{1}{x} \to +\infty[/tex] e l'angolo la cui tangente "vale" [tex]+\infty[/tex] è [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]... Lo stesso vale quando [tex]\frac{1}{x}\to -\infty[/tex]... Sono cose di trigonometria queste, non c'entrano con l'analisi.
Grazie....
Volendo essere più precisi, il fatto che [tex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \text{arctg}x=\frac{\pi}{2}[/tex] segue dal teorema di esistenza del limite per funzioni monotòne.
In questo caso, [tex]\text{arctg}x[/tex] è strettamente crescente in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], pertanto, da quel teorema si ha:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \text{arctg}x = \displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}} \text{arctg}x = \frac{\pi}{2}[/tex].
In questo caso, [tex]\text{arctg}x[/tex] è strettamente crescente in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], pertanto, da quel teorema si ha:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \text{arctg}x = \displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}} \text{arctg}x = \frac{\pi}{2}[/tex].
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