Esercizi equazioni differenziali

[Howard_Wolowitz]

Ho le seguenti due equazioni differenziali da risolvere:
1)[tex]y \prime = (y^2 - 1)\frac{x}{1+x^2}[/tex]
a) Trovare le soluzioni stazionarie;
b) Risolvere il problema di Cauchy dato dall'aggiunta della condizione iniziale [tex]y(0) = -3[/tex]
Risoluzione:
E' una equazione differenziale del primo ordine omogenea a variabili separabili quindi analizzo la continuità di [tex]f(x)=\frac{x}{1+x^2}[/tex] e [tex]g(y)=(y^2-1)[/tex] ovvero le funzioni che la compongono.
Da ciò ottengo subito che [tex]f(x) \in C(\mathbb{R})[/tex] e [tex]g(y) \in {C}^{\prime}(\mathbb{R})[/tex].
Per quanto riguarda il punto a) deduco subito che annullandosi [tex]y \prime[/tex] per [tex]y=1[/tex] o [tex]y=-1[/tex] si ottengono come soluzioni stazionarie [tex]y(x) = 1 \wedge y(x) = -1[/tex] definite [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Per il punto b) procedo all'integrazione ovvero:
[tex]\int\frac{dy}{y^2-1} = \int \frac{x \, dx}{1+x^2} \Rightarrow \frac{1}{2}\ln\frac{\mid y-1\mid}{\mid y+1 \mid}= \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C[/tex]
a questo punto anilizzando le situazioni ed i possibili intervalli di definizione della funzione [tex]\frac{\mid y-1 \mid}{\mid y + 1 \mid}[/tex] trovo che l'intervallo da considerare in accordo con la condizione iniziale del problema di Cauchy presentato è [tex]-1 \leq x \leq 1[/tex].
In tale intervallo si ha che [tex]\frac{\mid y - 1 \mid}{\mid y + 1 \mid} = \frac{1-y}{1+y}[/tex] e pertanto lavorando sul risultato dell'integrale di sopra ottengo [tex]y(x) = -\frac{x^2}{x^2+2}{C}_{1}[/tex]([tex]{C}_{1}=e^C[/tex]).
Ora provo a ricavare [tex]y[/tex] in funzione di [tex]x[/tex] e ottengo [tex]y=\frac{1-(1+x^2){C}_{1}}{1+(1+x^2){C}_{1}}[/tex].
Ricavo [tex]{C}_{1} = -1[/tex] e pertanto trovo che [tex]y = -1 -\frac{2}{x^2}[/tex].
A questo punto dovendo definire l'insieme di definizione di tale soluzione cosa devo mettere?
La derivata prima della funzione trovata è continua in [tex](-\infty;0)(0;+\infty)[/tex] ma il valore [tex]{x}_{0}=0[/tex] presente nella condizione iniziale non appartiene a tale intervallo... come devo comportarmi? Dove sbaglio?
Non sono sicuro che valutare [tex]\frac{\mid y - 1\mid}{\mid y + 1\mid}[/tex] in [tex](-1;1)[/tex] sia corretto, tuttavia se sostituita la [tex]y=-1-\frac{2}{x^2}[/tex] nella equazione differenziale di partenza sembra essere soluzione corretta...
2)[tex]{\begin{cases} {y}^{\prime\prime}+4y=0 \\ y(\frac{\pi}{3})=0 \\ y^\prime(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\end{cases}}[/tex]
Risoluzione:
Ponendo [tex]y=e^{\lambda x}[/tex] ottengo che [tex]e^{\lambda x}(\lambda^2 + 4)=0[/tex].
Da ciò si ha che l'integrale generale sarà della forma [tex]y(x)=Ae^{-2x}+Be^{2x}[/tex].
Ricavo pertanto [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] grazie alle condizioni iniziali del problema di Cauchy in oggetto e trovo quale integrale generale [tex]y(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}e^{2x-2\frac{\pi}{3}} - \frac{\sqrt{3}}{4}e^{2\frac{\pi}{3}-2x}[/tex].
Al fine di verificare la correttezza della soluzione trovata la derivo due volte trovando [tex]{y}^{\prime \prime}(x)=\sqrt{3}(e^{2x-2\frac{\pi}{3}}-{e}^{2\frac{\pi}{3}-2x})[/tex] e sostituendo nella equazione differenziale iniziale trovo [tex]\sqrt{3}(e^{2x-2\frac{\pi}{3}}-e^{2\frac{\pi}{3}-2x})+\sqrt{3}(e^{2x-2\frac{\pi}{3}}-e^{2\frac{\pi}{3}-2x})=0[/tex].
Questa ineguaglianza è pertanto segnale di errore ma non riesco a capire dove effettivamente sbaglio...

[Quinzio]

Nella 1) c'è un errore, a me viene $C_1=-2$

Nella 2) l'errore sta nella soluzione di $\lambda^2+4 = 0 $ che da $\lambda={-2i, 2i}$, due valori immaginari.
Quindi la soluzione è composta da seni e coseni....