Esercizi di continuità e derivabilità di una funzione con parametri
Mi trovo a far fronte ad un dubbio da cui non riesco a uscirne.
In un esercizio guidato del libro si ha la seguente funzione per rami:
$x^2sin(1/x)$ if x diverso da zero
$0$ if x=0
e per capirne la derivabilità (o meno) studia ovviamente il rapporto incrementale $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x_0))/h$ nulla di strano, e mette come valore per $f(x_0)$ il valore $0$ che è appunto dato dal secondo ramo.
In un altro esercizio si ha la seguente f(x) per tratti:
$a*sqrt(x+4)-6$ if $-4<=x<0$
$ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$
Dopo aver studiato la continuità e trovato i paramenti (che non riporto perché non è qui che risiede il dubbio) passa allo studio del rapporto incrementale nel punto x=0 nel caso si trovi nel limite $h^+$ in $f(x+h)$ mette ovviamente i valori della funzione (corrispondente al caso $x>=0$) incrementata e in $f(x_0)$ il valore trovato sostituento ad x il valore 0 in $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$.
Quel che non capisco è perché invece studiando per $x->h^-$ utilizzi per $f(x_0)$ la funzione $a*sqrt(x+4)-6$ in cui sostituisce 0. Ma io mi chiedo: non dovrebbe usare $ln(bx+1)+2b$ essendo che $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$ (caso maggiore uguale a zero?)
Nel primo esempio (la funzione col seno) usa il ramo corretto nella sostituzione di x0 nel rapporto incrementale,mentre qui utilizza il ramo $-4<=x<0$ e non capisco perché, dato che la funzione "dice" specificatamente che vale solo per x<0
(io avrei usato l'altro)
Vi ringrazio moltissimo
In un esercizio guidato del libro si ha la seguente funzione per rami:
$x^2sin(1/x)$ if x diverso da zero
$0$ if x=0
e per capirne la derivabilità (o meno) studia ovviamente il rapporto incrementale $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x_0))/h$ nulla di strano, e mette come valore per $f(x_0)$ il valore $0$ che è appunto dato dal secondo ramo.
In un altro esercizio si ha la seguente f(x) per tratti:
$a*sqrt(x+4)-6$ if $-4<=x<0$
$ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$
Dopo aver studiato la continuità e trovato i paramenti (che non riporto perché non è qui che risiede il dubbio) passa allo studio del rapporto incrementale nel punto x=0 nel caso si trovi nel limite $h^+$ in $f(x+h)$ mette ovviamente i valori della funzione (corrispondente al caso $x>=0$) incrementata e in $f(x_0)$ il valore trovato sostituento ad x il valore 0 in $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$.
Quel che non capisco è perché invece studiando per $x->h^-$ utilizzi per $f(x_0)$ la funzione $a*sqrt(x+4)-6$ in cui sostituisce 0. Ma io mi chiedo: non dovrebbe usare $ln(bx+1)+2b$ essendo che $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$ (caso maggiore uguale a zero?)
Nel primo esempio (la funzione col seno) usa il ramo corretto nella sostituzione di x0 nel rapporto incrementale,mentre qui utilizza il ramo $-4<=x<0$ e non capisco perché, dato che la funzione "dice" specificatamente che vale solo per x<0
(io avrei usato l'altro)Vi ringrazio moltissimo
Risposte
semplicemente si deve avere
$lim_(h->0^+)(f(0+h)-f(0))/h=lim_(h->0^-)(f(0+h)-f(0))/h$
il punto in cui calcoli la derivata è $f(0)$ quindi vale la condizione per $xgeq0$
il fatto che ad $f(0+h)$ con $h>0$ sostituisca l'espressione $xgeq0$ è data dal fatto che $0+hgeq0$
e analogamente per $h<0$ sostituisce $x<0$ poichè $0+h<0$
$lim_(h->0^+)(f(0+h)-f(0))/h=lim_(h->0^-)(f(0+h)-f(0))/h$
il punto in cui calcoli la derivata è $f(0)$ quindi vale la condizione per $xgeq0$
il fatto che ad $f(0+h)$ con $h>0$ sostituisca l'espressione $xgeq0$ è data dal fatto che $0+hgeq0$
e analogamente per $h<0$ sostituisce $x<0$ poichè $0+h<0$
@anto
[ot]Pazzesco, ho scritto 30 secondi fa nel post sull'uniforme continuità come sia popolare quel tipo di funzione e sbam! Eccola qua![/ot]
[ot]Pazzesco, ho scritto 30 secondi fa nel post sull'uniforme continuità come sia popolare quel tipo di funzione e sbam! Eccola qua![/ot]
@bremen
[ot]questa funzione comincio ad odiarla, è il controesempio perfetto per qualsiasi cosa
[/ot]
[ot]questa funzione comincio ad odiarla, è il controesempio perfetto per qualsiasi cosa
[/ot]
"anto_zoolander":
il fatto che ad $f(0+h)$ con $h>0$ sostituisca l'espressione $xgeq0$ è data dal fatto che $0+hgeq0$
e analogamente per $h<0$ sostituisce $x<0$ poichè $0+h<0$
E in questo ci sono pienamente!
Probabilmente mi sono spiegato malissimo (anzi sicuramente
)Il mio dubbio verteva in altra direzione, ci riprovo, se mi spiego ancora male ca**iami!
In parole povere non capisco perché $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x_0))/h$ dato che f(x0) è la valutazione della funzione in x0 anche se sono nel ramo $a*sqrt(x+4)-6$ if $-4<=x<0$ per trovare f(x0) vada a sostituire lo zero (il mio x0) nella formula $a*sqrt(x+4)-6$ e poi la piazzi nel rapporto incrementale.
Quello che avrei fatto io sarebbe stato di fare $f(x+h)$ calcolato sul ramo $a*sqrt(x+4)-6$ e ci avrei poi messo lo zero nella funzione $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$ perché x=0 appartiene alla condizione $x>=0$ del mio intervallo.
E così fa nella prima funzione (quella col seno). Nella seconda però, NO!
Sostituisce x=0 in $a*sqrt(x+4)-6$ ma x=0 non appartiene a $-4<=x<0$, e questo mi disorienta.
Grazie per la precedente risposta, oviamente
Faccio un up, perché rimango ancora col dubbio. 
Hai tutta la ragione, mi so sono dimenticato di rispondere
io prima vorrei capire una cosa: ciò che ti inquieta è la presenza di $f(x_0)$ anche nel ramo dove $x_0$ non gli appartiene?
cioè a te non ti va giù $lim_(h->0^(-))(f(0+h)-f(0))/h$ questo limite?
io prima vorrei capire una cosa: ciò che ti inquieta è la presenza di $f(x_0)$ anche nel ramo dove $x_0$ non gli appartiene?
cioè a te non ti va giù $lim_(h->0^(-))(f(0+h)-f(0))/h$ questo limite?
Nessun problema è che devo assolutamente capire la logica!!
Perché certo gli esercizi mi vengono, ma non riesco a giustificarmi il perché di quel metodo..
Quel che non mi va giù è più che altro che vada ad usare in $f(x_0)$ del rapporto incrementale -sostituendo il valore di x0=0- in un ramo in cui non è definita. Cioè io avrei usato la funzione del ramo di appartenenza per il valore in f(x0), un po' come fa per la funzione senodel primo esempio.
Lì mi torna, perché fa un rapporto incrementale usando la funzione definita per quel ramo, e non capisco perché nel secondo esempio non lo faccia
Mettiamo io abbia una funzione per rami:f(x)
$A(x)$ if $-4<=x<0$
$B(x)$ if $x>=0$
Io l'avrei studiata così:
$lim_(h->0^+) (B(x+h)-B(x_0))/h$ con $x_0=0$
mentre per il ramo "A"
$lim_(h->0^-) (A(x+h)-B(x_0))/h$ con $x_0=0$
questo perché in realtà la condizione mi dice che $-4<=x<0$ e non compendia x=0. E in realtà nell'esempio del seno fa proprio così, ci mette in x=0 il valore che ha B(x) che ha valore 0 "if x=0".
Invece il professore fa per la funzione del secondo esempio di apertura: $lim_(h->0^-) (A(x+h)-A(x_0))/h$ con $x_0=0$ e mi stona. Mi sembran due comportamenti diversi nel primo esempio di funzione e nel secondo.
Una volta usa B (es del seno) una volta usa A (secondo esempio).
Spero sia più chiaro, ho solo rinominato con A e B per semplificare
è che devo assolutamente capire la logica!! Perché certo gli esercizi mi vengono, ma non riesco a giustificarmi il perché di quel metodo..
Quel che non mi va giù è più che altro che vada ad usare in $f(x_0)$ del rapporto incrementale -sostituendo il valore di x0=0- in un ramo in cui non è definita. Cioè io avrei usato la funzione del ramo di appartenenza per il valore in f(x0), un po' come fa per la funzione senodel primo esempio.
Lì mi torna, perché fa un rapporto incrementale usando la funzione definita per quel ramo, e non capisco perché nel secondo esempio non lo faccia
Mettiamo io abbia una funzione per rami:f(x)
$A(x)$ if $-4<=x<0$
$B(x)$ if $x>=0$
Io l'avrei studiata così:
$lim_(h->0^+) (B(x+h)-B(x_0))/h$ con $x_0=0$
mentre per il ramo "A"
$lim_(h->0^-) (A(x+h)-B(x_0))/h$ con $x_0=0$
questo perché in realtà la condizione mi dice che $-4<=x<0$ e non compendia x=0. E in realtà nell'esempio del seno fa proprio così, ci mette in x=0 il valore che ha B(x) che ha valore 0 "if x=0".
Invece il professore fa per la funzione del secondo esempio di apertura: $lim_(h->0^-) (A(x+h)-A(x_0))/h$ con $x_0=0$ e mi stona. Mi sembran due comportamenti diversi nel primo esempio di funzione e nel secondo.
Una volta usa B (es del seno) una volta usa A (secondo esempio).
Spero sia più chiaro, ho solo rinominato con A e B per semplificare
Ciao
Intanto la scrittura corretta è $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ ovvero lendue $h$ ad argomento sono le stesse.
Non è vero che sta facendo un limite in un ramo dove la funzione non è definita perché considera che $f(x_0)$ è costante e lo calcoli nel ramo di appartenenza.
ció che entra in gioco nel limite è $f(x_0+h)$ e $h$ anche perché le condizioni iniziali ti dicono solo che se $xgeq0$ allora $f$ ha una espressione e se $x<0$ ne ha un’altra. Infatti quando vai a calcolare il valore di $f(x_0)$ ti rifai al ramo a cui $x_0$ appartiene. Per esempio
$f(x)={(x^2 sin(1/x) if xne0),(0 ifx=0):}$
Voglio fare la derivata in $0$ allora scrivo il limite come
È chiaro che $0+hne0$ quindi avrà una espressione mentre $f(0)=0$
$lim_(h->0)(h^2sin(1/h))/h=0$
Ma se fai un disegnino secondo me lo capisci meglio...
Intanto la scrittura corretta è $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ ovvero lendue $h$ ad argomento sono le stesse.
Non è vero che sta facendo un limite in un ramo dove la funzione non è definita perché considera che $f(x_0)$ è costante e lo calcoli nel ramo di appartenenza.
ció che entra in gioco nel limite è $f(x_0+h)$ e $h$ anche perché le condizioni iniziali ti dicono solo che se $xgeq0$ allora $f$ ha una espressione e se $x<0$ ne ha un’altra. Infatti quando vai a calcolare il valore di $f(x_0)$ ti rifai al ramo a cui $x_0$ appartiene. Per esempio
$f(x)={(x^2 sin(1/x) if xne0),(0 ifx=0):}$
Voglio fare la derivata in $0$ allora scrivo il limite come
$lim_(h->0)(f(0+h)-f(0))/h$
È chiaro che $0+hne0$ quindi avrà una espressione mentre $f(0)=0$
$lim_(h->0)(h^2sin(1/h))/h=0$
Ma se fai un disegnino secondo me lo capisci meglio...
Mi sa che mi sono spiegato di nuovo male, devi scusarmi , il problema non è sulla funzione per rami del seno, ma sulla seconda che riporto, cioè questa:
Per $x=0$ per $f(x_0)$ con $h->0^-$ il prof va a calcolare in $a*sqrt(x+4)-6$, mentre io la avrei calcolata in $ln(bx+1)+2b$ essendo $x>=0$ analogamente a quanto fatto nell'esempio
$x^2sin(1/x)$ if x diverso da zero
$0$ if x=0
che usa la costante zero poiché è in quel ramo che faluto f(x0)
Insomma il mio dubbio non è in
$x^2sin(1/x)$ if x diverso da zero
$0$ if x=0
paradossalmente è nell'altra funzione che è
$a*sqrt(x+4)-6$ if $-4<=x<0$
$ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$
Scusa se mi ero spiegato male, spero ora di aver fatto luce sul dubbio
, il problema non è sulla funzione per rami del seno, ma sulla seconda che riporto, cioè questa:"sgrisolo":
In un altro esercizio si ha la seguente f(x) per tratti:
$a*sqrt(x+4)-6$ if $-4<=x<0$
$ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$
Per $x=0$ per $f(x_0)$ con $h->0^-$ il prof va a calcolare in $a*sqrt(x+4)-6$, mentre io la avrei calcolata in $ln(bx+1)+2b$ essendo $x>=0$ analogamente a quanto fatto nell'esempio
$x^2sin(1/x)$ if x diverso da zero
$0$ if x=0
che usa la costante zero poiché è in quel ramo che faluto f(x0)
Insomma il mio dubbio non è in
$x^2sin(1/x)$ if x diverso da zero
$0$ if x=0
paradossalmente è nell'altra funzione che è
$a*sqrt(x+4)-6$ if $-4<=x<0$
$ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$
Scusa se mi ero spiegato male, spero ora di aver fatto luce sul dubbio
Ma per $h->0^(-)$ è chiaro che $0+h<0$ o quantomeno appunto stai in un intorno sinistro delll zero quindi vai a prendere la funzione in questione
Sì, certo per $f(x_0+h)$ però non mi torna perché in $f(x_0)$ non si prenda la funzione sul ramo $x>=0$
Insomma io avrei fatto come incrementale al numeratore $f(x_0+h)-f(x_0)$ e avrei usato in $f(x_0+h)$ la funzione sul ramo <0 e in $f(x_0)$ la funzione con $x>=0$ e nell'esempio del seno fa proprio così, nel secondo esempio no, anche in zero usa la funzione del ramo x<0.
Insomma io avrei fatto come incrementale al numeratore $f(x_0+h)-f(x_0)$ e avrei usato in $f(x_0+h)$ la funzione sul ramo <0 e in $f(x_0)$ la funzione con $x>=0$ e nell'esempio del seno fa proprio così, nel secondo esempio no, anche in zero usa la funzione del ramo x<0.
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