Esercizi di compiti di analisi 1

[fransis2]

c'è una cosa che non riesco a capire di questo esercizio:
sia f:R -> R una funnzione $C^2$ (domanfa di conferma: significa derivabile con derivata continua?) tale che f(0)=0, f(x)>0 se per tutti gli x tranne 0. Provare che $g(x)=(f(x)')^2/f(x)$ definita per tutti gli x tranne 0 è estendibile con continuità in x=0.
mi sembra che se prendo f:R -> R definita da:
$f(x)$={ $tg(x)$ se x appartiene a [0,1];
$tg(1)+(1+(tg(1))^2)(x-1)$ se x>1;
$-tg(1)+(1+(tg(1))^2)(x+1)$ se x<-1}
in x=0 g(x) non si estenda con continuità poichè g(x) tende a + infinito per x che tende a 0. Dov'è che ho sbagliato?
c'è un altro esercizio che non riesco a riesco a risolvere: sia f:R -> R una funzione tale che f(R)=Q. Provare che f non può essere continua. Mi sembra abbastanza ovvia come cosa ma non la riesco a dimostrare.

[clrscr]

Ciao...
Secondo me l'esempio che hai fatto tu non calza molto...Infatti si sta parlando di una funzione di classe $C^2(RR)$ cioè derivabile due volte e con le stesse derivate continue.
Comunque la dimostrazione sta tutta nello sfruttare proprio questa proprietà di continuità...

[clrscr]

Comunque la dimostrazione dovrebbe essere così...
Innanzitutto calcoliamo il limite:
$lim_(x->0^-) (f'(x))^2/(f(x))$.
Essendo $f(x)$ una funzione continua e maggiore di zero per $x != 0$ e con derivata prima continua in tale punto, il limite si presenterà in una forma indeterminata del tipo $0/0$. Applicando De l'Hospital si otterrà $lim_(x->0^-) (2f'(x)f''(x))/(f'(x))=f''(x) !=0$ perchè la funzione è convessa in tale punto. Lo stesso ragionamento si può applicare nel caso del limite da destra.