Esercizi di analisi vettoriale di base

[SteezyMenchi]

[regolamento]1[/regolamento]Ho questo esercizio da svolgere (cioè l'ho svolto e vorrei sapere se c'è qualche errore nelle mie conclusioni):
Dice di disegnare nel piano i seguenti insiemi e dire se sono chiusi, aperti e/o limitati (nel caso fossero limitati trovare una parametrizzazione della frontiera):
$A_1 = \{(x,y) \in \RR^2 " : "|x-1|+|y+3| <=2 \} $
$A_2 = \{(x,y) \in \RR^2 " : "x^2+16y^2 <16 \}$
$ A_3 =\{(x,y) \in \RR^2 " : " log(|x|+1)-y >=0 \^^ |y+3| <1 \}$
Dopo una lunga sessione di disegno sono giunto a queste conclusioni:
$A_1$: non è limitato, né chiuso né aperto
$A_2$: limitato e aperto e la parametrizzazione della frontiera è quella dell'ellisse data da:
$\gamma(t) = [(4cost),(sint)], t \in [0,2\pi]$
$A_3$ = non limitato ma aperto
Qualcuno potrebbe dirmi se trova qualche errore (probabilmente ho sbagliato qualcosa nonostante la banalità dell'esercizio, siccome sono sul treno e non ho molto tempo e quindi ho cercato di fare tutto il più velocemente possibie, se ci sono errori nel codice fatemelo sapere e stasera correggo )

[Mathita]

Quasi tutto giusto. Rivedi un attimo le conclusioni che hai tratto su $A_1$: dalle risposte che hai dato, mi pare di comprendere che hai commesso qualche errore nella rappresentazione.

[SteezyMenchi]

Appena torno a casa e ho tempo ricontrollo. Pensavo di aver sbagliato qualcosa anche nell'ultimo invece per via dell'intersezione e la condizioni disgiuntiva dovuta al modulo, però se tu dici che va bene mi fido hahahah. Ovviamente ti ringrazio del feedback

[Mathita]

Hai analizzato correttamente $A_3$ perché coincide con la striscia illimitata aperta $S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |y+3|<1\}$. Per provarlo, basta notare che $A_3\subseteq S$ (ovvio). Per quanto concerne l'inclusione $S\subseteq A_3$, osserva che se $(x,y)\in S$, allora $x\in\mathbb{R}$ e $-4

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[SteezyMenchi]

Ok questo ragionamento è davvero ottimo. Grazie davvero Mathita.
Mi sono appena accorto sommando tutti e 4 i grafici per $A_1$ che, a meno di errori, dall'unione dei 4 grafici che mi sono usciti, dovrebbe venir fuori un quadrato, la cui frontiera appartiene all'insieme: perciò la diagnosi è: limitato e chiuso.

[Mathita]

Esattamente! Lima un po' il linguaggio: "sommare i grafici" non mi pare un'espressione standard.

[SteezyMenchi]

Hai ragione anche tu, ho usato un'espressione davvero barbara: diciamo che dall'insieme ho ricavato 4 sistemi, ne ho graficate singolarmente le soluzioni e infine ho fatto lo stesso procedimento con l'unione di tutti e 4 i sistemi studiati