Esercizi di analisi vettoriale di base
Salve, a breve inizierò il corso di analisi vettoriale e ho cercato di prepararmi leggendo degli appunti (circa 15 pagine) del mio professore di analisi 1 che ci fornì in caso ai tempi ne fossimo stati interessati. Ho speso l'intera giornata a leggere e cercare di capire i concetti fondamentali (in particolare derivate parziali, gradiente, derivata direzionale, differenziabilità, piano tangente). Ci sono anche alcuni esercizi alla fine tuttavia non ho proprio idea di come svolgerli siccome la teoria è davvero complicata da affrontare da solo e non ci sono esercizi svolti che facciano da guida. Per questo vi chiedo, anche se contro lo spirito del forum, come svolgere due esercizi tra quelli proposti (gli altri sono più o meno gli stessi declinati in maniera differente). Non mi servono soluzioni numeriche ma più che altro un metodo, e per chi ne avesse voglia una breve spiegazione del ragionamento che c'è dietro (sottolineo che tali esercizi andrebbero svolti senza una vera e propria conoscenza profonda dei concetti di analisi 2 che ho esposto sopra, sarei disposto in caso ad aggiungere alcune foto di tali appunti). In ogni caso posto gli esercizi incriminati nel caso la mia richiesta possa essere soddisfatta altrimenti eliminerò il messaggio qualora qualche moderatore lo ritenga necessario.
A) Calcolare il gradiente e il piano tangente della funzione nel punto indicato:
$f(x,y,z) = \frac{3xz^2}{y+z}, P=(1,1,1)$
B-) Verificare che $f(x,y) = (x^2y)^(1/3) $ è tc $\grad f((0,0))=(0,0)$ ma per $\vec v =(1/sqrt2, 1/sqrt2)$ si ha che $\frac{\partial f}{\partial \vec v} ((0,0)) = 1/sqrt2$ per cui non vale la regola $\frac{\partial f}{\partial \vec v} = \grad f \cdot \vec v$, ove con $\cdot$ il prof indica il prodotto scalare
A) Calcolare il gradiente e il piano tangente della funzione nel punto indicato:
$f(x,y,z) = \frac{3xz^2}{y+z}, P=(1,1,1)$
B-) Verificare che $f(x,y) = (x^2y)^(1/3) $ è tc $\grad f((0,0))=(0,0)$ ma per $\vec v =(1/sqrt2, 1/sqrt2)$ si ha che $\frac{\partial f}{\partial \vec v} ((0,0)) = 1/sqrt2$ per cui non vale la regola $\frac{\partial f}{\partial \vec v} = \grad f \cdot \vec v$, ove con $\cdot$ il prof indica il prodotto scalare
Risposte
Ciao SteezyMenchi,
Solo qualche suggerimento:
A) se $f(x,y,z) = \frac{3xz^2}{y+z} \implies \grad f = ((\del f)/(\del x),(\del f)/(\del y),(\del f)/(\del z)) = ((3 z^2)/(y + z), -(3 x z^2)/(y + z)^2, (3 x z (2 y + z))/(y + z)^2) $
Pertanto con $P(1,1,1) $ si ha $ \grad f(P) = (3/2, -3/4, 9/4) $
Per il piano tangente tieni presente che il gradiente è normale alla superficie in quel punto, quindi il prodotto scalare fra il gradiente ed un qualsiasi vettore $\vec w $ appartenente al piano tangente è nullo: $ \grad f(P) \cdot \vec w = 0 $
B) Se $ f(x,y) = (x^2y)^(1/3) \implies \grad f = ((\del f)/(\del x),(\del f)/(\del y)) = ((2 x y)/(3 (x^2 y)^(2/3)), x^2/(3 (x^2 y)^(2/3))) $
Per cui non è possibile calcolare $ \grad f $ nel punto $O(0,0) $ nello stesso modo usato in A) ed è necessario ricorrere alla definizione. Per quanto concerne il discorso della derivata direzionale potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
Solo qualche suggerimento:
A) se $f(x,y,z) = \frac{3xz^2}{y+z} \implies \grad f = ((\del f)/(\del x),(\del f)/(\del y),(\del f)/(\del z)) = ((3 z^2)/(y + z), -(3 x z^2)/(y + z)^2, (3 x z (2 y + z))/(y + z)^2) $
Pertanto con $P(1,1,1) $ si ha $ \grad f(P) = (3/2, -3/4, 9/4) $
Per il piano tangente tieni presente che il gradiente è normale alla superficie in quel punto, quindi il prodotto scalare fra il gradiente ed un qualsiasi vettore $\vec w $ appartenente al piano tangente è nullo: $ \grad f(P) \cdot \vec w = 0 $
B) Se $ f(x,y) = (x^2y)^(1/3) \implies \grad f = ((\del f)/(\del x),(\del f)/(\del y)) = ((2 x y)/(3 (x^2 y)^(2/3)), x^2/(3 (x^2 y)^(2/3))) $
Per cui non è possibile calcolare $ \grad f $ nel punto $O(0,0) $ nello stesso modo usato in A) ed è necessario ricorrere alla definizione. Per quanto concerne il discorso della derivata direzionale potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
Grazie mille Pillo. Conosci per caso qualche dispensa dove possa trovare queste nozioni di analisi 2 sul piano tangente siccome il libro non mi è ancora arrivato?
Ho capito come trovare il piano tangente e ho risolto gli esercizi. Una domanda mi è rimasta: non capisco perché il gradiente è per forza perpendicolare alla superficie nel punto considerato?. Il nostro piano tangente non dovrebbe essere individuato nello spazio da un punto ad esso appartenente e il vettore normale al piano nel punto considerato (me lo ricordo dal liceo). Non mi basterebbe allora per trovare l'equazione del piano imporre questa condizione (le coordinate del vettore me le dà proprio il gradiente calcolato nel punto in questione):
$vec x_0 = (x_0,y_0,z_0) \Rightarrow z-z_0 = \frac{partial f(vec x_0)}{\partial x}(x-x_0)-\frac{partial f(vec x_0)}{\partial y}(y-y_0)$
Potrei aver scritto delle sciocchezze enormi e mi scuso in anticipo.
$vec x_0 = (x_0,y_0,z_0) \Rightarrow z-z_0 = \frac{partial f(vec x_0)}{\partial x}(x-x_0)-\frac{partial f(vec x_0)}{\partial y}(y-y_0)$
Potrei aver scritto delle sciocchezze enormi e mi scuso in anticipo.
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