Esercizi di analisi 1
Salve, volevo richiedere la risoluzione dei seguenti esercizi
1)Si consideri per ogni $ α ∈ R $ la funzione definita da
$ e^(−2x)*(x^2 + αx + 1/2) $ .
• Dire per quali valori di α la funzione fα risulta invertibile
2)Dire per quali valori di $ α ∈ R $ la funzione definita da
$ fα(x) = e^x − αx^3 $
risulta convessa in R
per quanto riguarda il primo esercizio l'invertibilità dovrebbe equivalere alla stretta monotonia giusto? quando vado a studiarmi la derivata prima mi esce $ f'α(x) = e^(2x)[−2x^2 + 2(1 − α)x − 1 + α] $. poi come devo proseguire?
mentre per quanto riguarda il secondo esercizio, la funzione risulta convessa per alfa uguale a zero. come faccio a studiare la funzione per alfa minore e maggiore di zero?
Grazie mille in anticipo
1)Si consideri per ogni $ α ∈ R $ la funzione definita da
$ e^(−2x)*(x^2 + αx + 1/2) $ .
• Dire per quali valori di α la funzione fα risulta invertibile
2)Dire per quali valori di $ α ∈ R $ la funzione definita da
$ fα(x) = e^x − αx^3 $
risulta convessa in R
per quanto riguarda il primo esercizio l'invertibilità dovrebbe equivalere alla stretta monotonia giusto? quando vado a studiarmi la derivata prima mi esce $ f'α(x) = e^(2x)[−2x^2 + 2(1 − α)x − 1 + α] $. poi come devo proseguire?
mentre per quanto riguarda il secondo esercizio, la funzione risulta convessa per alfa uguale a zero. come faccio a studiare la funzione per alfa minore e maggiore di zero?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Per (1) affinchè sia strettamente monotona si deve avere che la derivata prima è strettamente positiva o negativa.
In (2) la convessità è equivalente a richiedere $f''_{alpha}>0$. Quindi $e^x -6alphax>0$.
In (2) la convessità è equivalente a richiedere $f''_{alpha}>0$. Quindi $e^x -6alphax>0$.
"feddy":
Per (1) affinchè sia strettamente monotona si deve avere che la derivata prima è strettamente positiva o negativa.
In (2) la convessità è equivalente a richiedere $f''_{alpha}>0$. Quindi $e^x -6alphax>0$.
quindi nella 1, per vedere la decrescenza o la crescenza, devo fare il limite di x che tende all'infinito? perchè mi esce il limite di x che tende ad infinito di f(x) e mi esce meno infinito... quindi devo dedurre che la funzione è decrescente? inoltre dopo devo imporre la funzione minore a zero?
Se il limite è $+-infty$ non è che puoi dire che se va a infinito allora ci va in modo monotono. Immagina una funzione che continua a crescere ma a forma di ghirigori. Va a infinito ma non è certo iniettiva ( e quindi non invertibile).
Senza entrare troppo nello specifico, una funzione è monotona crescente (risp decrescente) in un intervallo $I$ se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) per tutte le $x$ dell'intervallo.
Senza entrare troppo nello specifico, una funzione è monotona crescente (risp decrescente) in un intervallo $I$ se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) per tutte le $x$ dell'intervallo.
"feddy":
Se il limite è $+-infty$ non è che puoi dire che se va a infinito allora ci va in modo monotono. Immagina una funzione che continua a crescere ma a forma di ghirigori. Va a infinito ma non è certo iniettiva ( e quindi non invertibile).
Senza entrare troppo nello specifico, una funzione è monotona crescente (risp decrescente) in un intervallo $I$ se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) per tutte le $x$ dell'intervallo.
quindi mi studio $ f'(x)> 0 $ e, dopo che mi sono ricavato $ ( 1-alpha -sqrt(alpha ^2-1) )/2 < x<( 1-alpha +sqrt(alpha ^2-1) )/2 $ , come devo procedere?
Per quali valori di $alpha$ ha senso l'espressione?
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